Posted in: Разное

Er f: Функция ошибок

Содержание

Функция ошибок

Функция ошибок
Дополнительная функция ошибок

Функция ошибок, она же функция Лапласа, он же интеграл вероятности — все это одна и та же сущность, которая выражается функцией

и используется в статистике и теории вероятностей.

Функция неэлементарная, то есть её нельзя представить в виде элементарных (тригонометрических и алгебраических) функций.

Для расчета в нашем калькуляторе, мы используем связь с неполной гамма функцией

Кроме этого мы сможем здесь же вычислить, дополнительную функцию ошибок, обозначаемую  (иногда применяется обозначение ) и определяется через функцию ошибок:

В приницпе это все, что можно сказать о ней.

Калькулятор  высчитывает результат как в вещественном так и комплексном поле.

Замечание: Функция прекрасно работает на всем поле комплексных чисел при условии если аргумент ( фаза) меньше 180 градусов.

Это связано с особенностью вычисления этой функции, неполной гамма функции,  интегральной показательной функцией через непрерывные дроби.

Отсюда следует вывод, что при отрицательных вещественных аргументах, функция будет выдавать неверные решения.  Но при всех положительных, а также отрицательных комплексных аргументах функция ошибок выдает верный ответ. 

 

Несколько примеров:

Функция ошибок
Дополнительная функция ошибок

 

Функция ошибок
Дополнительная функция ошибок

 

Функция ошибок
Дополнительная функция ошибок
  • Цепочка остатков от деления >>

erf — с английского на русский

  • Erf — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. {{{image}}}   Sigles d une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres …   Wikipédia en Français

  • ÉRF — ERF Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. {{{image}}}   Sigles d une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres …   Wikipédia en Français

  • Érf — ERF Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. {{{image}}}   Sigles d une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres …   Wikipédia en Français

  • Erf — steht für eine heute zu MAN gehörende, englische Lastwagenmarke, siehe ERF (Lkw) Église Réformée de France, siehe Reformierte Kirche von Frankreich Evangeliums Rundfunk, deutscher Partner von Trans World Radio ERF Medien, Evangelium in Radio und… …   Deutsch Wikipedia

  • ERF — steht für die Edgar Reitz Filmproduktion eine heute zu MAN gehörende, englische Lastwagenmarke, siehe ERF (Lkw) Église Réformée de France, siehe Reformierte Kirche von Frankreich Evangeliums Rundfunk, deutscher Partner von Trans World Radio ERF… …   Deutsch Wikipedia

  • Erf — may refer to:* Error function, a non elementary function in mathematics which appears in probability, statistics, and partial differential equations * Erf , an interjection * Erf, a subdivision of a township in South African land titles. ee also*… …   Wikipedia

  • ERF — is a three letter abbreviation that can stand for:* European Union Road Federation, the Brussels Programme Centre of the International Road Federation * Extreme Reaction Force, a type of riot squad in U.S. military prisons * ERF (lorry… …   Wikipedia

  • Erf — Erf, n.; pl. {Erven}. [D.] A garden plot, usually about half an acre. [Cape Colony] [1913 Webster] …   The Collaborative International Dictionary of English

  • ERF — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.   Sigles d’une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres   Sigles de quatre lettres …   Wikipédia en Français

  • erf — A gutteral sound such as grunting, usually used online Did you do the homework or not? Erf …   Dictionary of american slang

  • erf — A gutteral sound such as grunting, usually used online Did you do the homework or not? Erf …   Dictionary of american slang

  • Интеграл вероятности — это. .. Что такое Интеграл вероятности?

    График функции ошибок

    В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

    .

    Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:

    .

    Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

    .

    Свойства

    • Для любого комплексного x выполняется

    где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

    • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

    Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

    • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

    поскольку  — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i + 1)-й, считая первым членом x.

    • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
    • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.
    • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
    • Обратная функция ошибок представляет собой ряд

    где c0 = 1 и

    Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

    [1]

    Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

    Дополнительная функция ошибок

    Применение

    Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна .

    Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

    В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

    Асимптотическое разложение

    При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

    Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

    Другое приближение даётся формулой

    где

    Родственные функции

    С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(

    x)

    Обратная функция к Φ, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

    Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

    Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

    Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

    Обобщённые функции ошибок

    График обобщённых функций ошибок En(x):
    серая линия:
    красная линия:
    зелёная линия: E3(x)
    синяя линия: E4(x)
    жёлтая линия: E5(x).

    Некоторые авторы обсуждают более общие функции

    Примечательными частными случаями являются:

    • E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат:
    • E2(x) — функция ошибок .

    После деления на n! все En с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все En с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обощённые функции ошибок с n > 0 выглядят похоже на полуоси x > 0.

    На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

    Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

    Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

    Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

    Их можно разложить в ряд:

    откуда следуют свойства симметрии

    и

    Реализация

    В стандартах языков Си и C++ функция ошибок и дополнительная функция ошибок отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

    В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

    Matlab[4] и

    В языке Special проекта scipy [5].

    См. также

    • Функция Гаусса

    Литература

    • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

    Внешние ссылки

    Wikimedia Foundation. 2010.

    Python. Модуль math. Специальные функции. Примеры


    Содержание


    Поиск на других ресурсах:

    1. Функция math.erf(x). Функция ошибок

    Функция math.erf(x) в языке Python предназначена для вычисления функции ошибок от аргумента x. Функция ошибок еще называется функцией ошибок Гаусса и определяется по формуле

    Более подробно об особенностях использования функции ошибок можно узнать из других источников.

    Пример.

    # Функция math.erf(x)
    import math
    
    x = 1.5
    y = math.erf(x) # y = 0.9661051464753108
    
    x = 0
    y = math.erf(x) # y = 0.0

      ⇑

    2. Функция math.erfc(x). Дополнительная функция ошибок

    Функция math.erfc(x) используется для вычисления дополнительной функции ошибки в точке x. Дополнительная функция ошибки определяется как

    1.0 - math.erf(x)

    Функция math.erfc(x) используется в случаях, если значения x есть большими. При больших значениях x может произойти потеря значимости. Во избежание этого используется данная функция.
    Функция math.erfc(x) используется в Python начиная с версии 3.2.

    Пример.

    # Функция math.erfc(x)
    import math
    
    x = 1.5
    y = math.erfc(x) # y = 0.033894853524689274
    
    x = 0
    y = math.erfc(x) # y = 1.0

      ⇑

    3. Функция math.gamma(x). Гамма функция

    Функция math.gamma(x) возвращает Гамма-функцию от аргумента x. Гамма-функция вычисляется по формуле:

    Более подробную информацию об использовании Гамма-функции можно найти в других источниках.
    Функция math.gamma(x) введена в Python начиная с версии 3.2.

    Пример.

    # Функция math.gamma(x)
    import math
    
    x = 1.0
    y = math.gamma(x) # y = 1.0
    
    x = -2.2
    y = math.gamma(x) # y = -2.2049805184191333
    
    x = 3.8
    y = math.gamma(x) # y = 4.694174205740421

      ⇑

    4. Функция math.lgamma(x). Натуральный логарифм от гамма-функции

    Функция math. lgamma(x) возвращает натуральный логарифм абсолютного значения Гамма-функции от аргумента x. Данная функция введена в Python начиная с версии 3.2.

    Пример.

    # Функция math.lgamma(x)
    import math
    
    x = 1.0
    y = math.lgamma(x) # y = 0.0
    
    x = 2.7
    y = math.lgamma(x) # y = 0.4348205536551042


      ⇑

    5. Константа math.pi. Число π

    Константа math.pi определяет число π с доступной точностью.

    Пример.

    # Константа math.pi
    import math
    
    y = math.pi # y = 3.141592653589793
    
    # Вычисление площади круга
    r = 2.0
    s = math.pi*r*r # s = 12.566370614359172

      ⇑

    6. Константа math.e. Экспонента

    Константа math.e определяет значение экспоненты с доступной точностью.

    Пример.

    # Константа math.e - экспонента
    import math
    
    y = math.e # y = 2.718281828459045
    
    x = 1. 5
    y = math.e**x # y = 4.4816890703380645

      ⇑

    7. Константа math.tau. Число 2·π

    Константа math.tau определяет число 2·π с доступной точностью. Значение math.tau равно отношению длины окружности к ее радиусу. Константа используется в Python начиная с версии 3.6.

    Пример.

    # Константа math.tau
    import math
    
    y = math.tau # y = 6.283185307179586
    
    # Вычисление длины окружности радиуса r = 2
    r = 2.0
    length = math.tau*r # length = 12.566370614359172

      ⇑

    8. Константа math.inf. Положительная бесконечность

    Константа math.inf определяет положительную бесконеченость с плавающей запятой. Чтобы определить отрицательную бесконечность, нужно использовать –math.inf.
    Константа math.inf равна значению

    float('inf')

    Константа введена в Python начиная с версии 3.5.

    Пример.

    # Константа math.inf
    import math
    y = math. inf # y = inf - положительная бесконечность
    print('y = ', y)
    
    y = float('inf') # y = inf
    print('y = ', y)

    После запуска программы будет получен следующий результат

    y = inf
    y = inf

      ⇑

    9. Константа math.nan. Значение NaN (not a number)

    Константа math.nan введена в Python версии 3.6 и равна значению NaN с плавающей запятой. Значение NaN может возникать в случаях, когда результат вычисления неопределен. Примером такого вычисления может быть деление ноль на ноль, умножение ноль на бесконечность.
    Определить, принимает ли результат значение NaN можно также с помощью функции math.isnan(x).
    Константа math.nan введена в Python начиная с версии 3.5. Значение константы эквивалентно значению

    float('nan')

    Пример.

    # Константа math.nan
    import math
    
    y = math.nan # y = nan
    print('y = ', y)
    
    y = float('nan') # y = nan
    print('y = ', y)

    Результат выполнения программы:

    y = nan
    y = nan

      ⇑


    Связанные темы

      ⇑


     

    Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления / Хабр

    В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

    Данный интеграл берется от гауссовой функции:
    Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

    Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
    Теперь давайте переходить в полярную систему координат:


    Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:


    В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

    Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

    Рассмотрим функцию
    А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.


    Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

    Cделаем следующую замену переменных
    И получим:

    Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:


    Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1

    Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:


    Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

    С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:


    Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

    Найдем интеграл от левой границы:


    Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.


    Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:


    Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
    Для этого рассмотрим два случая.


    Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

    В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:


    Найдем интеграл от правой границы:
    (здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)


    После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:


    Возведем обе части неравенства в квадрат:


    Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂


    Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:


    Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞
    В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что


    Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

    Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.


    Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.


    Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:


    Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.


    Тогда в результате получим:


    Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

    Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂

    Математика онлайн | Функции

    e — основание натурального логарифма с приближенным числовым значением 2.71828….
    pi — число, имеющее значение 3.14159… и равное отношению длины окружности к ее диаметру
    i — представляет мнимую единицу, sqrt(-1)
    Degree — число радиан в одном градусе, которое имеет числовое значение pi/180
    EulerGamma — постоянная Эйлера с числовым значением 0.577216….
    GoldenRatio — константа со значением (1+sqrt(5))/2, определяющая деление отрезка по правилу золотого сечения

    Элементарные функции:
    abs(x) — модуль значения x, |x|
    sqrt(x) — квадратный корень значения x, √x
    x^y — x в степени y, xy
    e^x=exp(x) — экспонента значения x, ex
    log(a,b) — логарифм значения b по основанию a, Loga(b)
    log(x) — натуральный логарифм значения x, Loge(x)
    dilog(x) — дилогарифм значения x, Li2(x)
    n! — факториал числа n, равный n×(n-1)×…×3×2×1, причем 0!=1 и 1!=1
    n!! — двойной факториал числа n, равный n×(n-2)×(n-4)×…

    Тригонометрические функции:
    sin(x) — синус значения x
    cos(x) — косинус значения x
    tan(x) — тангенс значения x
    cot(x) — котангенс значения x
    sec(x) — секанс значения x, sec(x)=1/cos(x)
    csc(x) — косеканс значения x, csc(x)=1/sin(x)

    Обратные тригонометрические функции:
    arcsin(x) — арксинус значения x, sin-1(x)
    arccos(x) — арккосинус значения x, cos-1(x)
    arctan(x) — арктангенс значения x, tan-1(x)
    arccot(x) — арккотангенс значения x, cot-1(x)
    arcsec(x) — арксеканс значения x, sec-1(x)
    arccsc(x) — арккосеканс значения x, csc-1(x)

    Гиперболические функции:
    sinh(x) — синус гиперболический значения x
    cosh(x) — косинус гиперболический значения x
    tanh(x) — тангенс гиперболический значения x
    coth(x) — котангенc гиперболический значения x
    sech(x) — секанс гиперболический значения x
    csch(x) — косеканс гиперболический значения x

    Обратные гиперболические функции:
    arcsinh(x) — арксинус гиперболический значения x, sinh-1(x)
    arccosh(x) — арккосинус гиперболический значения x, cosh-1(x)
    arctanh(x) — арктангенс гиперболический значения x, tanh-1(x)
    arccoth(x) — арккотангенc гиперболический значения x, coth-1(x)
    arcsech(x) — арксеканс гиперболический значения x, sech-1(x)
    arccsch(x) — арккосеканс гиперболический значения x, csch-1(x)

    Функции комплексного аргумента:
    abs(z) — модуль комплексного числа z
    arg(z) — аргумент комплексного числа z
    Im(z) — мнимая часть комплексного числа z
    Re(z) — вещественная часть комплексного числа z

    Ортогональные многочлены:
    ChebyshevT(n,x) — полином Чебышева n-й степени первого рода, Tn(x)
    ChebyshevU(n,x) — полином Чебышева n-й степени второго рода, Un(x)
    HermiteH(n,x) — полином Эрмита n-й степени, Hn(x)
    JacobiP(n,a,b,x) — полином Якоби n-й степени, Pn(a,b)(x)
    GegenbauerC(n,m,x) — полином Гегенбауэра, Cn(m)(x)
    LaguerreL(n,x) — полином Лагерра n-й степени, Ln(x)
    LaguerreL(n,a,x) — обобщенный полином Лагерра n-й степени, Lna(x)
    LegendreP(n,x) — полином Лежандра n-й степени, Pn(x)
    LegendreP(n,m,x) — присоединенный полином Лежандра, Pnm(x)
    LegendreQ(n,x) — функция Лежандра второго рода n-го порядка, Qn(x)
    LegendreQ(n,m,x) — присоединенная функция Лежандра второго рода, Qnm(x)

    Интегральные показательные и родственные им функции:
    SinIntegral(x) — интегральный синус, Si(x)
    SinhIntegral(x) — интегральный гиперболический синус, Shi(x)
    CosIntegral(x) — интегральный косинус, Сi(х)
    CoshIntegral(x) — интегральный гиперболический косинус, Сhi(х)
    ExpIntegralEi(x) — интегральная показательная функция, Ei(x)
    ExpIntegralE(n,x) — интегральная показательная функция, En(x)
    FresnelC(x) — интеграл Френеля, C(x)
    FresnelS(x) — интеграл Френеля, S(x)
    li(x) — интегральный логарифм
    erf(x) — функция ошибок (интеграл вероятности)
    erf(x0,x1) — обобщенная функция ошибок, erf(x1)-erf(x0)
    erfc(x) — дополняющая функция ошибок, 1-erf(x)
    erfi(x) — мнимое значение функции ошибок, erfi(i×x)/i

    Гамма- и полигамма-функции:
    Gamma(x) — эйлерова гамма-функция, Γ(x)
    Gamma(a,x) — неполная гамма-функция, Γ(a,x)
    Gamma(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Γ(а,x0)-Γ(a,x1)
    GammaRegularized(a,x) — регуляризованная неполная гамма-функция, Q(а,x)=Γ(а,x)/Γ(a)
    GammaRegularized(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Q(a,x0)-Q(a,x1)
    LogGamma(x) — логарифм эйлеровой гамма-функции, logΓ(x)
    PolyGamma(x) — дигамма-функция, ψ(x)
    PolyGamma(n,x) — n-я производная от дигамма-функции, ψ(n)(x)

    Бета-функция и родственные ей функции:
    Beta(a,b) — эйлерова бета-функция, В(a,b)
    Beta(x,a,b) — неполная бета-функция, Вx(a,b)
    Beta(x0,x1,a,b) — обобщенная неполная бета-функция, В(x0,x1)(a,b)=Вx1(a,b)-Вx0(a,b)
    BetaRegularized(x,a,b) — регуляризированная неполная бета-функция Ix(a,b)
    BetaRegularized(x0,x1,a,b) — регуляризированная обобщенная неполная бета-функция, I(x0,x1)(a,b)=Ix1(a,b)-Ix0(a,b)

    Функции Бесселя:
    BesselJ(n,x) — функция Бесселя первого рода, Jn(x)
    BesselI(n,x) — модифицированная функция Бесселя первого рода, In(x)
    BesselY(n,x) — функция Бесселя второго рода, Yn(x)
    BesselK(n,x) — модифицированная функция Бесселя второго рода, Кn(x)

    Гипергеометрические функции:
    Hypergeometric0F1(a,x) — гипергеометрическая функция, 0F1(;a;x)
    Hypergeometric0F1Regularized(a,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция, 0F1(;a;x)/Γ(a)
    Hypergeometric1F1(a,b,x) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, 1F1(;a;b;x)
    Hypergeometric1F1Regularized(a,b,x) — регуляризованная вырожденная гипергеометрическая функция, 1F1(;a;b;x)/Γ(b)
    HypergeometricU(a,b,x) — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция, U(a,b,x)
    Hypergeometric2F1(a,b,c,x) — гипергеометрическая функция 2F1(a,b;c;x)
    Hypergeometric2F1Regularized(a,b,c,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция 2F1(a,b;c;x)/Γ(c)

    Эллиптические интегралы:
    EllipticK(m) — полный эллиптический интеграл первого рода, К(m)
    EllipticF(x,m) — эллиптический интеграл первого рода, F(x|m)
    EllipticE(m) — полный эллиптический интеграл второго рода, Е(m)
    EllipticE(x,m) — эллиптический интеграл второго рода Е(x|m)
    EllipticPi(n,m) — полный эллиптический интеграл третьего рода, Π(n|m)
    EllipticPi(n,x,m) — эллиптический интеграл третьего рода, Π(n;x|m)
    JacobiZeta(x,m) — дзета-функция Якоби, Z(x|m)

    Эллиптические функции:
    am(x,m) — амплитуда для эллиптических функций Якоби, am(x|m)
    JacobiSN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sn(x|m)
    JacobiSD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sd(x|m)
    JacobiSC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sc(x|m)
    JacobiNS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ns(x|m)
    JacobiND(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nd(x|m)
    JacobiNC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nc(x|m)
    JacobiDS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ds(x|m)
    JacobiDN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dn(x|m)
    JacobiDC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dc(x|m)
    JacobiCS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cs(x|m)
    JacobiCN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cn(x|m)
    JacobiCD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cd(x|m)
    InverseJacobiSN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sn-1(x|m)
    InverseJacobiSD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sd-1(x|m)
    InverseJacobiSC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sc-1(x|m)
    InverseJacobiNS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ns-1(x|m)
    InverseJacobiND(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nd-1(x|m)
    InverseJacobiNC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nc-1(x|m)
    InverseJacobiDS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ds-1(x|m)
    InverseJacobiDN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dn-1(x|m)
    InverseJacobiDC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dc-1(x|m)
    InverseJacobiCS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cs-1(x|m)
    InverseJacobiCN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cn-1(x|m)
    InverseJacobiCD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cd-1(x|m)

    erf, erff, erfl — cppreference.com

    float erff (float arg);

    (1) (начиная с C99)

    двойной эрф (двойной арг);

    (2) (начиная с C99)

    long double erfl (длинный двойной аргумент);

    (3) (начиная с C99)

    #define erf (arg)

    (4) (начиная с C99)

    4) Макрос общего типа: если arg имеет тип long double, вызывается erfl .2}} \ mathsf {d} t} \) arg
    0 e -t2
    d t , возвращается. Если ошибка диапазона возникает из-за недостаточного заполнения, возвращается правильный результат (после округления), то есть \ (\ frac {2 \ cdot arg} {\ sqrt {\ pi}} \).

    [править] Обработка ошибок

    Сообщения об ошибках указаны в math_errhandling.

    Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

    • Если аргумент равен ± 0, возвращается ± 0
    • Если аргумент равен ± ∞, возвращается ± 1
    • Если аргумент NaN, возвращается NaN

    [править] Примечания

    Отсутствие переполнения гарантировано, если | arg | \ (\ operatorname {erf} (\ frac {x} {\ sigma \ sqrt {2}}) \) erf () — это вероятность того, что измерение, ошибки которого подчиняются нормальному распределению со стандартным отклонением \ (\ sigma \ ) σ меньше, чем \ (x \) x от среднего значения.

    [править] Пример

     #include 
    #include 
    двойной фи (двойной x1, двойной x2)
    {
        return (erf (x2 / sqrt (2)) - erf (x1 / sqrt (2))) / 2;
    }
    int main (пусто)
    {
        put ("нормальные вариативные вероятности:");
        для (int n = -4; n <4; ++ n)
            printf ("[% 2d:% 2d]:% 5.2f %% \ n ", n, n + 1, 100 * phi (n, n + 1));
    
        put ("специальные значения:");
        printf ("erf (-0) =% f \ n", erf (-0.0));
        printf ("erf (Inf) =% f \ n", erf (INFINITY));
    } 

    Выход:

     нормальных вариативных вероятностей:
    [-4: -3]: 0,13%
    [-3: -2]: 2,14%
    [-2: -1]: 13,59%
    [-1: 0]: 34,13%
    [0: 1]: 34,13%
    [1: 2]: 13,59%
    [2: 3]: 2,14%
    [3: 4]: 0,13%
    специальные значения:
    erf (-0) = -0,000000
    erf (Inf) = 1,000000 

    [править] Ссылки

    • Стандарт C11 (ISO / IEC 9899: 2011):
    • 7.12.8.1 Функции erf (стр: 249)
    • 7.25 Типовые математические функции (p: 373-375)
    • F.10.5.1 Функции erf (стр: 525)
    • Стандарт C99 (ISO / IEC 9899: 1999):
    • 7.12.8.1 Функции erf (стр: 230)
    • 7.22 Типовая математика (p: 335-337)
    • F.9.5.1 Функции erf (стр: 462)

    [править] См. Также

    [править] Внешние ссылки

    Weisstein, Eric W. Erf. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

    std :: erf, std :: erff, std :: erfl - cppreference.com

    float erf (float arg);
    float erff (float arg);

    (1) (начиная с C ++ 11)

    двойной эрф (двойной арг);

    (2) (начиная с C ++ 11)

    long double erf (длинный двойной аргумент);
    long double erfl (длинный двойной аргумент);

    (3) (начиная с C ++ 11)

    двойной erf (IntegralType arg);

    (4) (начиная с C ++ 11)
    4) Набор перегрузок или шаблон функции, принимающий аргумент любого целочисленного типа.2}} \ mathsf {d} t} \) arg
    0 e -t2
    d t , возвращается. Если ошибка диапазона возникает из-за недостаточного заполнения, возвращается правильный результат (после округления), то есть \ (\ frac {2 \ cdot arg} {\ sqrt {\ pi}} \).

    [править] Обработка ошибок

    Сообщения об ошибках указаны в math_errhandling.

    Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

    • Если аргумент равен ± 0, возвращается ± 0
    • Если аргумент равен ± ∞, возвращается ± 1
    • Если аргумент NaN, возвращается NaN

    [править] Примечания

    Отсутствие переполнения гарантировано, если | arg | \ (\ operatorname {erf} (\ frac {x} {\ sigma \ sqrt {2}}) \) erf () - это вероятность того, что измерение, ошибки которого подчиняются нормальному распределению со стандартным отклонением \ (\ sigma \ ) σ меньше, чем \ (x \) x от среднего значения.

    [править] Пример

    В следующем примере вычисляется вероятность того, что нормальная вариация находится на интервале (x1, x2)

    Выход:

     нормальных вариативных вероятностей:
    [-4: -3]: 0,13%
    [-3: -2]: 2,14%
    [-2: -1]: 13,59%
    [-1: 0]: 34,13%
    [0: 1]: 34,13%
    [1: 2]: 13,59%
    [2: 3]: 2,14%
    [3: 4]: 0,13%
    специальные значения:
    erf (-0) = -0,00
    erf (Inf) = 1,00 

    [править] См. Также

    [править] Внешние ссылки

    Weisstein, Eric W. Erf. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

    Рейтинг и данные по акциям

    ERF | Enerplus Corp

    Дом Домашняя страница Уровни членства Обсуждение Полный список запасов Форум ценностного инвестирования Ценностная конференция Книга Подкаст Покрытие членских данных Обращение учредителя Бесплатная пробная версия Скринеры

    GuruFocus Скринеры

    Универсальный скринер Портфель дивидендных доходов Бен Грэм: Формула потери Canadian Faster Growers Генеральный директор покупает Генеральный директор покупает после падения цен> 20% Портфель роста дивидендов Портфель дивидендных доходов Быстрые производители Hedge Fund Guru Top 10 агрегированных Высокого качества Высокое качество Низкие капитальные затраты с ROE ROC мин. Высокое качество и низкие капитальные затраты Высокодоходные инсайдерские покупки Историческая высокая дивидендная доходность Лучшие холдинги международных гуру Джеймс Монтье, короткометражка Снижающие маржу Мега шапки Питер Линч и Уоррен Баффет Рост Питера Линча с более низкой оценкой S&L Питера Линча торгуется ниже книги Скринер PFCF Оценка Пиотроски Предсказуемые компании Прибыльные предсказуемые расширители маржи Запасы, проданные без наличных денег Хорошие компании Стойкие

    Мои скринеры

    Создать мой скринер

    Экраны значений

    Универсальный скринер Скринер Баффета-Мунгера Обзор отрасли Недооцененный прогнозируемый Бенджамин Грэм Net-Net Минимум за 52 недели / 3 года / 5 лет Максимум за 52 недели / 3 года / 5 лет Магическая формула (Гринблатт) Дивидендные акции Питер Линч Экран Сетка S & P500 Предсказуемые компании Спин-офф список Список исторически низких P / B Список исторических низких P / S Высокий короткий интерес Предстоящие специальные дивиденды

    Модельные портфолио

    Выступления Недооцененный прогнозируемый Баффет-Мангер Низкий P / S Низкий P / B Самый широкий в собственности Самый Взвешенный

    инструменты

    Скачать финансовые данные Надстройка Excel GURUF API Руководство по акциям FilingWiz Руководство пользователя FilingWiz Калькулятор DCF / обратного DCF Скачать портфолио гуру Скачать инсайдерские данные Мобильное приложение Гуру Последние выборы гуру Список гуру Выбор в реальном времени Портфолио гуру 10 самых популярных холдингов Гуру сделок Горячие выборы Агрегированный портфель Консенсусный выбор ETFS Доска оценок Выбор сектора Международный выбор Отраслевые тенденции Географическая тенденция Параметры Европейский шорт Уоррен Баффет Билл Гейтс Мохниш Пабрай Карл Икан Джордж Сорос Дэвид Теппер Сет Кларман Билл Акман Джоэл Гринблатт Чарли Мангер Инсайдеры Все инсайдеры Генеральный директор покупает / продает Инсайдерские тенденции Кластер инсайдеров Финансовый директор покупает / продает Guru + Insider Double Buys Тройные покупки / продажи Канадский инсайдер Dutch Insider Рынок

    Рыночная оценка

    Индикатор Баффета Обзор отрасли U.Кривая доходности казначейских облигаций Шиллер P / E Оценка мирового рынка

    ERF Plus слушать онлайн

    📻 🔍
    • ★ Top100
    • ✓ Местный
    • ♫ Страны
    • ♫ Жанры
    • ♫ Языки
    • ☀ Случайно
    • + Отправить
    • Ⓘ Помощь
    • ★ Trackchart
    • 👨 Войти

    Страны

    Афганистан (18)
    Албания (92)
    Алжир (46)
    Андорра (10)
    Ангола (14)
    Ангилья (1)
    Антигуа и Барбуда (7)
    Аргентина (836)
    Армения (40)
    Аруба (17)
    Австралия (577)
    Австрия (297)
    Азербайджан (27)
    Багамы (15)
    Бахрейн (1)
    Бангладеш (37)
    Барбадос (9)
    Беларусь (75)
    Бельгия (454)
    Белиз (10)
    Бенин (3)
    Бермуды (10)
    Боливия (86)
    Босния и Герцеговина (145)
    Ботсвана (3)
    Остров Буве (1)
    Бразилия (4695)
    Британские Виргинские острова (5)
    Бруней (5)
    Болгария (165)
    Буркина-Фасо (2)
    Бурунди (6)
    Камбоджа (10)
    Камерун (5)
    Канада (1208)
    Кабо-Верде (5)
    Каймановы острова (15)
    Чили (564)
    Китай (55)
    Кокосовые острова (4)
    Колумбия (1249)
    Коморские Острова (2)
    Острова Кука (1)
    Коста-Рика (106)
    Хорватия (218)
    Куба (10)
    Кипр (81)
    Чешская Республика (235)
    Демократическая Республика Конго (6)
    Дания (162)
    Доминика (9)
    Доминиканская Республика (301)
    Эквадор (353)
    Египет (26)
    Сальвадор (102)
    Эстония (70)
    Эфиопия (6)
    Фолклендские острова (1)
    Фарерские острова (6)
    Фиджи (10)
    Финляндия (58)
    Франция (2113)
    Французская Гвиана (3)
    Французская Полинезия (1)
    Габон (1)
    Гамбия (15)
    Грузия (20)
    Германия (4069)
    Гана (252)
    Гибралтар (3)
    Греция (1196)
    Гренландия (1)
    Гренада (18)
    Гваделупа (10)
    Гуам (8)
    Гватемала (203)
    Гернси (2)
    Гвинея (15)
    Гвинея-Бисау (1)
    Гайана (20)
    Гаити (306)
    Гондурас (101)
    Гонконг (15)
    Венгрия (249)
    Исландия (22)
    Индия (295)
    Индонезия (457)
    Иран (38)
    Ирак (25)
    Ирландия (226)
    Остров Мэн (2)
    Израиль (74)
    Италия (1326)
    Кот-д'Ивуар (11)
    Ямайка (48)
    Япония (174)
    Джерси (1)
    Иордания (23)
    Казахстан (35)
    Кения (62)
    Кувейт (9)
    Киргизия (28)
    Латвия (68)
    Ливан (64)
    Лесото (2)
    Либерия (2)
    Ливия (4)

    erf - Викисловарь

    Английский [править]

    Произношение [править]

    Этимология 1 [править]

    из среднеанглийского erve , erfe , из древнеанглийского yrfe , ierfe («наследство, завещание, наследство, собственность, унаследованное имущество, имущество, которое переходит к наследнику, крупный рогатый скот, домашний скот»), от Proto -Западный германский * arbī , от протогерманского * arbiją («наследие»), от протоиндоевропейского * h₃erbʰ- («сменить владельца») (отсюда также * h₃órbʰos («сирота» ”)).

    Совместим с голландским erf («наследство, вотчина, земля, двор»), немецким Erbe («наследие, наследство, наследование»), датским arv («наследие, наследство»), шведским arv («Наследие, наследование»), готский 𐌰𐍂𐌱𐌹 (арби, «наследство»), латинский orbus («сирота»), древнегреческий ὀρφανός (сирота, сирота), староанглийский ierfa (« наследник »). Относится к или .

    Существительное [править]

    erf ( множественное число erfs )

    1. (Северная Англия, Шотландия, редко) Наследование; вотчина.

      Сынок, у тебя будет эта ферма на эрф .

    2. (расширенный) Шток; крупный рогатый скот.
    Производные термины [править]
    Источники [править]

    Этимология 2 [править]

    Заимствовано из устаревшего голландского erf («наследство, участок земли»). Дублет эрф выше.

    Существительное [править]

    erf ( множественное число erfs или erven )

    1. (регион США, Капская колония, Нью-Йорк, Южная Африка) Небольшой унаследованный участок с домом и садом в деревне или поселении.

    Этимология 3 [править]

    Существительное [править]

    эрф

    1. (математика) Аббревиатура функции ошибок .

    Анаграммы [править]


    Произношение [править]

    Этимология 1 [править]

    из среднегерманского erve , из старогерманского ervi , из прото-западногерманского * arbī , из протогерманского * arbiją .

    Существительное [править]

    erf n ( множественное число erven , уменьшительное erfje n )

    1. двор (открытая территория, прилегающая к дому)
    2. (образное) наследие, вотчина
    3. (устаревший, закон) наследство, особенно земельный участок
      Антоним: kateel
    4. (устаревшее) наследование
      Синонимы: erfenis, erfdeel
    Производные термины [править]
    Потомки [править]
    • Африкаанс: erf
    • → Английский: erf

    Этимология 2 [править]

    См. Этимологию основной записи.

    Глагол [править]

    эрф

    1. от первого лица единственного числа присутствует, что указывает на erven
    2. императив erven

    Среднеанглийский [править]

    Существительное [править]

    эрф

    1. Альтернативная форма erve

    Special - документация SymPy 1.6.2

    Функция DiracDelta и ее производные.

    Пояснение

    DiracDelta - необычная функция.Его можно строго определить либо как распределение или как мера.

    DiracDelta имеет смысл только в определенных интегралах, в частности, интегралы вида Integral (f (x) * DiracDelta (x - x0), (x, a, b)) , где он равен f (x0) , если a <= x0 <= b и 0 в противном случае. Формально, DiracDelta действует в некотором роде как функция, которая равна 0 везде, кроме по адресу 0 , но во многих отношениях это тоже не так.Часто бывает полезно лечить DiracDelta формально, создавая выражения и управляя ими с помощью дельта-функции (которые в конечном итоге могут быть интегрированы), но необходимо соблюдать осторожность не рассматривать его как реальную функцию. SymPy oo аналогичен. Это только действительно имеет смысл формально в определенных контекстах (например, в пределах интеграции), но SymPy позволяет использовать его везде, и он пытается соответствовать операции на нем (например, 1 / oo ), но легко попасть в беду и получить неправильные результаты, если oo трактуется слишком как число.{a + \ epsilon} \ delta (x - a) f (x) \, dx = f (a) \)

  • \ (\ delta (x) = 0 \) для всех \ (x \ neq 0 \)

  • \ (\ delta (g (x)) = \ sum_i \ frac {\ delta (x - x_i)} {\ | g '(x_i) \ |} \) где \ (x_i \) являются корнями \ (g \)

  • \ (\ дельта (-x) = \ дельта (x) \)

  • Производные k -го порядка DiracDelta обладают следующими свойствами:

    1. \ (\ delta (x, k) = 0 \) для всех \ (x \ neq 0 \)

    2. \ (\ delta (-x, k) = - \ delta (x, k) \) для нечетных \ (k \)

    3. \ (\ delta (-x, k) = \ delta (x, k) \) для четного \ (k \)

    Примеры

     >>> из sympy import DiracDelta, diff, pi, Piecewise
    >>> от симпы.		

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *