Er f: Функция ошибок

Функция ошибок

Функция ошибок, она же функция Лапласа, он же интеграл вероятности — все это одна и та же сущность, которая выражается функцией

и используется в статистике и теории вероятностей.

Функция неэлементарная, то есть её нельзя представить в виде элементарных (тригонометрических и алгебраических) функций.

Для расчета в нашем калькуляторе, мы используем связь с неполной гамма функцией

Кроме этого мы сможем здесь же вычислить, дополнительную функцию ошибок, обозначаемую  (иногда применяется обозначение ) и определяется через функцию ошибок:

В приницпе это все, что можно сказать о ней.

Калькулятор  высчитывает результат как в вещественном так и комплексном поле.

Замечание: Функция прекрасно работает на всем поле комплексных чисел при условии если аргумент ( фаза) меньше 180 градусов.

Отсюда следует вывод, что при отрицательных вещественных аргументах, функция будет выдавать неверные решения.  Но при всех положительных, а также отрицательных комплексных аргументах функция ошибок выдает верный ответ. 

Несколько примеров:

• Цепочка остатков от деления >>

erf — с английского на русский

Интеграл вероятности — это. .. Что такое Интеграл вероятности?

График функции ошибок

В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства

• Для любого комплексного x выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку  — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i + 1)-й, считая первым членом x.

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.

• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c₀ = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)

Обратная функция к Φ, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

• E₀(x) — прямая линия, проходящая через начало координат:
• E₂(x) — функция ошибок .

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обощённые функции ошибок с n > 0 выглядят похоже на полуоси x > 0.

На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

и

Реализация

В стандартах языков Си и C++ функция ошибок и дополнительная функция ошибок отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab[4] и

В языке Special проекта scipy [5].

См. также

• Функция Гаусса

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

Python. Модуль math. Специальные функции. Примеры

Содержание

Поиск на других ресурсах:

1. Функция math.erf(x). Функция ошибок

Функция math.erf(x) в языке Python предназначена для вычисления функции ошибок от аргумента x. Функция ошибок еще называется функцией ошибок Гаусса и определяется по формуле

Более подробно об особенностях использования функции ошибок можно узнать из других источников.

Пример.

# Функция math.erf(x)
import math

x = 1.5
y = math.erf(x) # y = 0.9661051464753108

x = 0
y = math.erf(x) # y = 0.0

  ⇑

2. Функция math.erfc(x). Дополнительная функция ошибок

Функция math.erfc(x) используется для вычисления дополнительной функции ошибки в точке x. Дополнительная функция ошибки определяется как

1.0 - math.erf(x)

Функция math.erfc(x) используется в случаях, если значения x есть большими. При больших значениях x может произойти потеря значимости. Во избежание этого используется данная функция.
Функция math.erfc(x) используется в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.erfc(x)
import math

x = 1.5
y = math.erfc(x) # y = 0.033894853524689274

x = 0
y = math.erfc(x) # y = 1.0

  ⇑

3. Функция math.gamma(x). Гамма функция

Функция math.gamma(x) возвращает Гамма-функцию от аргумента x. Гамма-функция вычисляется по формуле:

Более подробную информацию об использовании Гамма-функции можно найти в других источниках.
Функция math.gamma(x) введена в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.gamma(x)
import math

x = 1.0
y = math.gamma(x) # y = 1.0

x = -2.2
y = math.gamma(x) # y = -2.2049805184191333

x = 3.8
y = math.gamma(x) # y = 4.694174205740421

  ⇑

4. Функция math.lgamma(x). Натуральный логарифм от гамма-функции

Функция math. lgamma(x) возвращает натуральный логарифм абсолютного значения Гамма-функции от аргумента x. Данная функция введена в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.lgamma(x)
import math

x = 1.0
y = math.lgamma(x) # y = 0.0

x = 2.7
y = math.lgamma(x) # y = 0.4348205536551042

  ⇑

5. Константа math.pi. Число π

Константа math.pi определяет число π с доступной точностью.

Пример.

# Константа math.pi
import math

y = math.pi # y = 3.141592653589793

# Вычисление площади круга
r = 2.0
s = math.pi*r*r # s = 12.566370614359172

  ⇑

6. Константа math.e. Экспонента

Константа math.e определяет значение экспоненты с доступной точностью.

Пример.

# Константа math.e - экспонента
import math

y = math.e # y = 2.718281828459045

x = 1. 5
y = math.e**x # y = 4.4816890703380645

  ⇑

7. Константа math.tau. Число 2·π

Константа math.tau определяет число 2·π с доступной точностью. Значение math.tau равно отношению длины окружности к ее радиусу. Константа используется в Python начиная с версии 3.6.

Пример.

# Константа math.tau
import math

y = math.tau # y = 6.283185307179586

# Вычисление длины окружности радиуса r = 2
r = 2.0
length = math.tau*r # length = 12.566370614359172

  ⇑

8. Константа math.inf. Положительная бесконечность

Константа math.inf определяет положительную бесконеченость с плавающей запятой. Чтобы определить отрицательную бесконечность, нужно использовать –math.inf.
Константа math.inf равна значению

float('inf')

Константа введена в Python начиная с версии 3.5.

Пример.

# Константа math.inf
import math
y = math. inf # y = inf - положительная бесконечность
print('y = ', y)

y = float('inf') # y = inf
print('y = ', y)

После запуска программы будет получен следующий результат

y = inf
y = inf

  ⇑

9. Константа math.nan. Значение NaN (not a number)

Константа math.nan введена в Python версии 3.6 и равна значению NaN с плавающей запятой. Значение NaN может возникать в случаях, когда результат вычисления неопределен. Примером такого вычисления может быть деление ноль на ноль, умножение ноль на бесконечность.
Определить, принимает ли результат значение NaN можно также с помощью функции math.isnan(x).
Константа math.nan введена в Python начиная с версии 3.5. Значение константы эквивалентно значению

float('nan')

Пример.

# Константа math.nan
import math

y = math.nan # y = nan
print('y = ', y)

y = float('nan') # y = nan
print('y = ', y)

Результат выполнения программы:

y = nan
y = nan

  ⇑

Связанные темы

  ⇑

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления / Хабр

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Найдем интеграл от левой границы:

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂

Математика онлайн | Функции

Элементарные функции:
abs(x) — модуль значения x, |x|
sqrt(x) — квадратный корень значения x, √x
x^y — x в степени y, x^y
e^x=exp(x) — экспонента значения x, e^x
log(a,b) — логарифм значения b по основанию a, Log_a(b)
log(x) — натуральный логарифм значения x, Log_e(x)
dilog(x) — дилогарифм значения x, Li₂(x)
n! — факториал числа n, равный n×(n-1)×…×3×2×1, причем 0!=1 и 1!=1
n!! — двойной факториал числа n, равный n×(n-2)×(n-4)×…

Тригонометрические функции:
sin(x) — синус значения x
cos(x) — косинус значения x
tan(x) — тангенс значения x
cot(x) — котангенс значения x
sec(x) — секанс значения x, sec(x)=1/cos(x)
csc(x) — косеканс значения x, csc(x)=1/sin(x)

Обратные тригонометрические функции:
arcsin(x) — арксинус значения x, sin^-1(x)
arccos(x) — арккосинус значения x, cos^-1(x)
arctan(x) — арктангенс значения x, tan^-1(x)
arccot(x) — арккотангенс значения x, cot^-1(x)
arcsec(x) — арксеканс значения x, sec^-1(x)
arccsc(x) — арккосеканс значения x, csc^-1(x)

Гиперболические функции:
sinh(x) — синус гиперболический значения x
cosh(x) — косинус гиперболический значения x
tanh(x) — тангенс гиперболический значения x
coth(x) — котангенc гиперболический значения x
sech(x) — секанс гиперболический значения x
csch(x) — косеканс гиперболический значения x

Обратные гиперболические функции:
arcsinh(x) — арксинус гиперболический значения x, sinh^-1(x)
arccosh(x) — арккосинус гиперболический значения x, cosh^-1(x)
arctanh(x) — арктангенс гиперболический значения x, tanh^-1(x)
arccoth(x) — арккотангенc гиперболический значения x, coth^-1(x)
arcsech(x) — арксеканс гиперболический значения x, sech^-1(x)
arccsch(x) — арккосеканс гиперболический значения x, csch^-1(x)

Функции комплексного аргумента:
abs(z) — модуль комплексного числа z
arg(z) — аргумент комплексного числа z
Im(z) — мнимая часть комплексного числа z
Re(z) — вещественная часть комплексного числа z

Ортогональные многочлены:
ChebyshevT(n,x) — полином Чебышева n-й степени первого рода, T_n(x)
ChebyshevU(n,x) — полином Чебышева n-й степени второго рода, U_n(x)
HermiteH(n,x) — полином Эрмита n-й степени, H_n(x)
JacobiP(n,a,b,x) — полином Якоби n-й степени, P_n^(a,b)(x)
GegenbauerC(n,m,x) — полином Гегенбауэра, C_n^(m)(x)
LaguerreL(n,x) — полином Лагерра n-й степени, L_n(x)
LaguerreL(n,a,x) — обобщенный полином Лагерра n-й степени, L_n^a(x)
LegendreP(n,x) — полином Лежандра n-й степени, P_n(x)
LegendreP(n,m,x) — присоединенный полином Лежандра, P_n^m(x)
LegendreQ(n,x) — функция Лежандра второго рода n-го порядка, Q_n(x)
LegendreQ(n,m,x) — присоединенная функция Лежандра второго рода, Q_n^m(x)

Интегральные показательные и родственные им функции:
SinIntegral(x) — интегральный синус, Si(x)
SinhIntegral(x) — интегральный гиперболический синус, Shi(x)
CosIntegral(x) — интегральный косинус, Сi(х)
CoshIntegral(x) — интегральный гиперболический косинус, Сhi(х)
ExpIntegralEi(x) — интегральная показательная функция, Ei(x)
ExpIntegralE(n,x) — интегральная показательная функция, E_n(x)
FresnelC(x) — интеграл Френеля, C(x)
FresnelS(x) — интеграл Френеля, S(x)
li(x) — интегральный логарифм
erf(x) — функция ошибок (интеграл вероятности)
erf(x0,x1) — обобщенная функция ошибок, erf(x₁)-erf(x₀)
erfc(x) — дополняющая функция ошибок, 1-erf(x)
erfi(x) — мнимое значение функции ошибок, erfi(i×x)/i

Гамма- и полигамма-функции:
Gamma(x) — эйлерова гамма-функция, Γ(x)
Gamma(a,x) — неполная гамма-функция, Γ(a,x)
Gamma(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Γ(а,x₀)-Γ(a,x₁)
GammaRegularized(a,x) — регуляризованная неполная гамма-функция, Q(а,x)=Γ(а,x)/Γ(a)
GammaRegularized(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Q(a,x₀)-Q(a,x₁)
LogGamma(x) — логарифм эйлеровой гамма-функции, logΓ(x)
PolyGamma(x) — дигамма-функция, ψ(x)
PolyGamma(n,x) — n-я производная от дигамма-функции, ψ⁽ⁿ⁾(x)

Бета-функция и родственные ей функции:
Beta(a,b) — эйлерова бета-функция, В(a,b)
Beta(x,a,b) — неполная бета-функция, В_x(a,b)
Beta(x0,x1,a,b) — обобщенная неполная бета-функция, В_(x0,x1)(a,b)=В_x1(a,b)-В_x0(a,b)
BetaRegularized(x,a,b) — регуляризированная неполная бета-функция I_x(a,b)
BetaRegularized(x0,x1,a,b) — регуляризированная обобщенная неполная бета-функция, I_(x0,x1)(a,b)=I_x1(a,b)-I_x0(a,b)

Функции Бесселя:
BesselJ(n,x) — функция Бесселя первого рода, J_n(x)
BesselI(n,x) — модифицированная функция Бесселя первого рода, I_n(x)
BesselY(n,x) — функция Бесселя второго рода, Y_n(x)
BesselK(n,x) — модифицированная функция Бесселя второго рода, К_n(x)

Гипергеометрические функции:
Hypergeometric0F1(a,x) — гипергеометрическая функция, ₀F₁(;a;x)
Hypergeometric0F1Regularized(a,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция, ₀F₁(;a;x)/Γ(a)
Hypergeometric1F1(a,b,x) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, ₁F₁(;a;b;x)
Hypergeometric1F1Regularized(a,b,x) — регуляризованная вырожденная гипергеометрическая функция, ₁F₁(;a;b;x)/Γ(b)
HypergeometricU(a,b,x) — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция, U(a,b,x)
Hypergeometric2F1(a,b,c,x) — гипергеометрическая функция ₂F₁(a,b;c;x)
Hypergeometric2F1Regularized(a,b,c,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция ₂F₁(a,b;c;x)/Γ(c)

Эллиптические интегралы:
EllipticK(m) — полный эллиптический интеграл первого рода, К(m)
EllipticF(x,m) — эллиптический интеграл первого рода, F(x|m)
EllipticE(m) — полный эллиптический интеграл второго рода, Е(m)
EllipticE(x,m) — эллиптический интеграл второго рода Е(x|m)
EllipticPi(n,m) — полный эллиптический интеграл третьего рода, Π(n|m)
EllipticPi(n,x,m) — эллиптический интеграл третьего рода, Π(n;x|m)
JacobiZeta(x,m) — дзета-функция Якоби, Z(x|m)

Эллиптические функции:
am(x,m) — амплитуда для эллиптических функций Якоби, am(x|m)
JacobiSN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sn(x|m)
JacobiSD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sd(x|m)
JacobiSC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sc(x|m)
JacobiNS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ns(x|m)
JacobiND(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nd(x|m)
JacobiNC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nc(x|m)
JacobiDS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ds(x|m)
JacobiDN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dn(x|m)
JacobiDC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dc(x|m)
JacobiCS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cs(x|m)
JacobiCN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cn(x|m)
JacobiCD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cd(x|m)
InverseJacobiSN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sn^-1(x|m)
InverseJacobiSD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sd^-1(x|m)
InverseJacobiSC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sc^-1(x|m)
InverseJacobiNS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ns^-1(x|m)
InverseJacobiND(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nd^-1(x|m)
InverseJacobiNC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nc^-1(x|m)
InverseJacobiDS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ds^-1(x|m)
InverseJacobiDN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dn^-1(x|m)
InverseJacobiDC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dc^-1(x|m)
InverseJacobiCS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cs^-1(x|m)
InverseJacobiCN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cn^-1(x|m)
InverseJacobiCD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cd^-1(x|m)

erf, erff, erfl — cppreference.com

4) Макрос общего типа: если arg имеет тип long double, вызывается erfl .2}} \ mathsf {d} t} \) arg
0 e ^-t2
d t , возвращается. Если ошибка диапазона возникает из-за недостаточного заполнения, возвращается правильный результат (после округления), то есть \ (\ frac {2 \ cdot arg} {\ sqrt {\ pi}} \).

[править] Обработка ошибок

Сообщения об ошибках указаны в math_errhandling.

Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

• Если аргумент равен ± 0, возвращается ± 0
• Если аргумент равен ± ∞, возвращается ± 1
• Если аргумент NaN, возвращается NaN

[править] Примечания

Отсутствие переполнения гарантировано, если | arg | \ (\ operatorname {erf} (\ frac {x} {\ sigma \ sqrt {2}}) \) erf () — это вероятность того, что измерение, ошибки которого подчиняются нормальному распределению со стандартным отклонением \ (\ sigma \ ) σ меньше, чем \ (x \) x от среднего значения.

[править] Пример

 #include 
#include 
двойной фи (двойной x1, двойной x2)
{
    return (erf (x2 / sqrt (2)) - erf (x1 / sqrt (2))) / 2;
}
int main (пусто)
{
    put ("нормальные вариативные вероятности:");
    для (int n = -4; n <4; ++ n)
        printf ("[% 2d:% 2d]:% 5.2f %% \ n ", n, n + 1, 100 * phi (n, n + 1));

    put ("специальные значения:");
    printf ("erf (-0) =% f \ n", erf (-0.0));
    printf ("erf (Inf) =% f \ n", erf (INFINITY));
} 

Выход:

 нормальных вариативных вероятностей:
[-4: -3]: 0,13%
[-3: -2]: 2,14%
[-2: -1]: 13,59%
[-1: 0]: 34,13%
[0: 1]: 34,13%
[1: 2]: 13,59%
[2: 3]: 2,14%
[3: 4]: 0,13%
специальные значения:
erf (-0) = -0,000000
erf (Inf) = 1,000000 

[править] Ссылки

• Стандарт C11 (ISO / IEC 9899: 2011):

• 7.12.8.1 Функции erf (стр: 249)

• 7.25 Типовые математические функции (p: 373-375)

• F.10.5.1 Функции erf (стр: 525)

• Стандарт C99 (ISO / IEC 9899: 1999):

• 7.12.8.1 Функции erf (стр: 230)

• 7.22 Типовая математика (p: 335-337)

• F.9.5.1 Функции erf (стр: 462)

[править] См. Также

[править] Внешние ссылки

std :: erf, std :: erff, std :: erfl - cppreference.com

[править] Обработка ошибок

Сообщения об ошибках указаны в math_errhandling.

Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

• Если аргумент равен ± 0, возвращается ± 0
• Если аргумент равен ± ∞, возвращается ± 1
• Если аргумент NaN, возвращается NaN

[править] Примечания

Отсутствие переполнения гарантировано, если | arg | \ (\ operatorname {erf} (\ frac {x} {\ sigma \ sqrt {2}}) \) erf () - это вероятность того, что измерение, ошибки которого подчиняются нормальному распределению со стандартным отклонением \ (\ sigma \ ) σ меньше, чем \ (x \) x от среднего значения.

[править] Пример

В следующем примере вычисляется вероятность того, что нормальная вариация находится на интервале (x1, x2)

Выход:

 нормальных вариативных вероятностей:
[-4: -3]: 0,13%
[-3: -2]: 2,14%
[-2: -1]: 13,59%
[-1: 0]: 34,13%
[0: 1]: 34,13%
[1: 2]: 13,59%
[2: 3]: 2,14%
[3: 4]: 0,13%
специальные значения:
erf (-0) = -0,00
erf (Inf) = 1,00 

[править] См. Также

[править] Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Erf. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

ERF | Enerplus Corp

 >>> из sympy import DiracDelta, diff, pi, Piecewise
>>> от симпы.