Posted in: Авто

Автоколебания примеры: Автоколебания — это… Что такое Автоколебания?

Содержание

Автоколебания — это… Что такое Автоколебания?

Автоколеба́ния — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.[1]

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Термин автоколебания в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году.

Примеры

Примерами автоколебаний могут служить:

  • незатухающие колебания маятника часов за счёт постоянного действия тяжести заводной гири;
  • колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка
  • возникновение переменного тока в цепях мультивибратора и в других электронных генераторах при постоянном напряжении питания;
  • колебание воздушного столба в трубе орга́на, при равномерной подаче воздуха в неё. (см. также Стоячая волна)
  • вращательные колебания латунной часовой шестерёнки со стальной осью, подвешенной к магниту и закрученной (опыт Гамазкова) (кинетическая энергия колеса, как в униполярном генераторе преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, потенциальная энергия электрического поля, как в униполярном двигателе, преобразуется в кинетическую энергию колеса и т.д. )

Молоток Маклакова

Молоток, совершающий удары за счёт энергии электрической цепи переменного тока с частотой, во много раз меньшей частоты тока в цепи[2].

Катушка L колебательного контура помещается над столом (или другим предметом, по которому требуется ударять). Снизу в неё входит железная трубка, нижний конец которой является ударной частью молотка. В трубке есть вертикальная прорезь, чтобы уменьшить токи Фуко. Параметры колебательного контура такие, что собственная частота его колебаний совпадает с частотой тока в цепи (например, переменного городского тока, 50 герц).

После включения тока и установления колебаний наблюдается резонанс токов контура и внешней цепи, и железная трубка втягивается в катушку. Индуктивность катушки растёт, колебательный контур выходит из резонанса, а амплитуда колебаний тока в катушке уменьшается. Поэтому трубка возвращается в исходное положение — вне катушки — под действием силы тяжести. Затем колебания тока внутри контура начинают нарастать, и снова наступает резонанс: трубка опять втягивается в катушку.

Трубка совершает автоколебания, т. е. периодические движения вверх и вниз, и при этом громко стучит по столу, подобно молотку. Период этих механических автоколебаний в десятки раз превосходит период переменного тока, поддерживающего их.

Молоток назван по имени М. И. Маклакова, лекционного ассистента Московского физико-технического института, предложившего и осуществившего такой опыт для демонстрации автоколебаний.

Механизм автоколебаний

Рис 1. Механизм автоколебаний.

Автоколебания могут иметь различную природу: механическую, тепловую, электромагнитную, химическую. Механизм возникновения и поддержания автоколебаний в разных системах может основываться на разных законах физики или химии. Для точного количественного описания автоколебаний разных систем может потребоваться разный математический аппарат. Тем не менее, можно представить схему, общую для всех автоколебательных систем, качественно описывающую этот механизм (рис. 1).
На схеме: S — источник постоянного (непериодического) воздействия; R — нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (например, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» колеблющийся элемент (элементы) системы V, а колебания через обратную связь

B управляют работой регулятора R, задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе восстанавливается за счёт поступления в неё энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают.

Если колеблющийся элемент системы способен к собственным затухающим колебаниям (т.н. гармонический диссипативный осциллятор), автоколебания (при равенстве диссипации и поступления энергии в систему за время периода) устанавливаются на частоте, близкой к резонансной для этого осциллятора, их форма становится близкой к гармонической, а амплитуда, в некотором диапазоне значений, тем больше, чем больше величина постоянного внешнего воздействия.
Примером такого рода системы может служить храповой механизм маятниковых часов, схема которого представлена на рис. 2. На ось храпового колеса

A (которое в этой системе выполняет функцию нелинейного регулятора) действует постоянный момент силы M, передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

Автоколебательные системы, не содержащие осцилляторов, называются релаксационными. Колебания в них могут сильно отличаться от гармонических, и иметь прямоугольную, треугольную или трапециедальную форму. Амплитуда и период релаксационных автоколебаний определяются соотношением величины постоянного воздействия и характеристик инерционности и диссипации системы.

Рис. 3 Электрозвонок.

Простейшим примером релаксационных автоколебаний может служить работа электрического звонка, изображённого на рис. 3.. Источником постоянного (непериодического) воздействия здесь является электрическая батарея U; роль нелинейного регулятора выполняет прерыватель T, замыкающий и размыкающий электрическую цепь, в результате чего в ней возникает прерывистый ток; колеблющимися элементами являются магнитное поле, периодически наводимое в сердечнике электромагнита E, и якорь A, движущийся под воздействием переменного магнитного поля. Колебания якоря приводят в действие прерыватель, что и образует обратную связь.
Инерционность этой системы определяется двумя различными физически величинами: моментом инерции якоря А и индуктивностью обмотки электромагнита E. Увеличение любого из этих параметров приводит к увеличению периода автоколебаний.

При наличии в системе нескольких элементов, колеблющихся независимо друг от друга, и одновременно воздействующих на нелинейный регулятор или регуляторы (которых тоже может быть несколько), автоколебания могут принимать более сложный характер, например, апериодический, или динамический хаос.

В природе и технике

Автоколебания лежат в основе многих явлений природы:

  • колебания листьев растений под действием равномерного потока воздуха;
  • образование турбулентных потоков на перекатах и порогах рек;
  • голоса людей, животных и птиц образуются благодаря автоколебаниям, возникающим при прохождении воздуха через голосовые связки;
  • действие регулярных гейзеров
  • Система «атмосфера — лёд — океан»

На автоколебаниях основан принцип действия большого количества всевозможных технических устройств и приспособлений, в том числе:

  • работа всевозможных часов, как механических, так и электрических;
  • звучание всех духовых и струнно-смычковых музыкальных инструментов;
  • действие всевозможных генераторов электрических и электромагнитных колебаний, применяемых в электротехнике, радиотехнике и электронике;
  • работа поршневых паровых машин и двигателей внутреннего сгорания;
  • некоторые системы автоматического регулирования работают в режиме автоколебаний, когда регулируемая величина колеблется в окрестности требуемого значения, то превышая его, то опускаясь ниже него, в допустимом для целей регулирования диапазоне (например, система терморегулирования бытового холодильника).

В то же время, в некоторых технических системах автоколебания могут возникать без специального намерения конструкторов этих систем, в результате неудачного выбора их технических параметров. Такие автоколебания могут быть нежелательными (например, «рычание» водопроводного крана при определённых расходах воды), а зачастую разрушительными, являющимися причиной аварий c тяжёлыми последствиями, когда речь идёт о системах с большими уровнями энергии, циркулирующей в них. Например:

  • в турбинах электростанций;
  • в реактивных авиационных (помпаж) и ракетных двигателях;
  • в магистралях газов и жидкостей высокого давления;
  • флаттер различных элементов летательных аппаратов;
  • автоколебания сооружений неустойчивой аэродинамической формы при обтекании их потоком воздуха с определённой скоростью (явление ветрового резонанса) и др.

См. также

Примечания

  1. Воздействие может быть периодическим, например вибрации, и при этом в системе будут возникать автоколебания со своей частотой, отличной от частоты вибраций. В частности, это может происходить благодаря осреднённым вибрационным явлениям, например в случае средних течений, возбуждаемых в вязких пограничных слоях жидкости (слои Стокса, механизм Шлихтинга). Так это происходит при автоколебаниях границы раздела двух жидкостей в осциллирующей системе.
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество.

Литература

Автоколебания и резонанс / Хабр

Здравствуйте!


В связи с вопросами читателей моей публикации [1] касательно условий возбуждения автоколебаний в механической системе, я решил описать явление возникновения и поддержания автоколебаний подробно, выделив основные области возникновения и применения автоколебаний.

В википедии автоколебания объясняют так [2]:

Незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. При этом частота становится почти равной резонансной.

Автоколебания в технике


Автоколебательная система с запаздыванием (на примере электромеханического звонка)
Приведём пример электромеханического звонка:

При замыкании цепи кнопкой (К) электромагнит (Е) притягивает ударник, ударник бьёт по звонку и размыкает цепь питания электромагнита, механически связанным с ним контактом (Т) ударник (А) возвращается назад и процесс повторяется.

При рассмотрении процесса возникновения автоколебаний будем считать, что сила, действующая на боёк (А) звонка, изменяется пропорционально изменению тока в RL цепи.

Такое допущение сделано для упрощения рассмотрения, поскольку зависимость силы от тока в обмотке и зазора между бойком и полюсами значительно сложнее [3].

Ниже приведены конструкции электромеханических звонков и их упрощённая электрическая схема:

Боёк колеблется относительно установленного зазора согласно соотношению A*sin (w*t).
Решив численным методом дифференциальное уравнение RL цепи с начальными условиями
для замыкания и размыкания контакта, наложив на эти решения колебания бойка, получим:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt 
R=100;L=0.07;E=100;tm=L/R;T=0.0280;w=2*np.pi/T # параметры RL цепи и частота бойка w    
def dydt(y, t):# функция диф. уравнений для  численного решения
         return -y/tm
def dydt1(y1, t):
         return -y1/tm+E/L
plt.title('Колебательные процессы в звонке', size=12)
y = odeint(dydt, E/R, np.linspace(0,T/4,300))# ток (сила) при размыкании RL, y(0)=E/R
plt.plot(np.linspace(0,T/4,300), y,'b',linewidth=2,label='Сила Fp=Km*Ip')# график 
y1 = odeint(dydt1, 0,  np.linspace(T/2,3*T/4,300))# ток (сила) при замыкании RL, y(0)=0 
plt.plot( np.linspace(T/2,3*T/4,300), y1,'g',linewidth=2,label='Сила Fz=Km*Iz')
t2=np.linspace(0,T,300)
y2=(E/R)*np.sin(w*t2)# уравнение колебаний бойка
plt.plot(t2, y2,"--r",linewidth=2,label='Колебания бойка ')
t3=np.linspace(0,T/4,300)
t4=np.linspace(T/2,3*T/4,300)
y3=[0 for i in t3]
y4=[0 for i in t4]
plt.plot(t3, y3,"--k",linewidth=3,label='Запаздывание Fp от бойка ')
plt.plot(t4, y4,"--k",linewidth=3,label='Запаздывание Fz  от бойка')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()

Для приближенной теории будем считать, что сила Fτ, выраженная последовательностью прямоугольных импульсов, которые возникает и исчезает мгновенно, но не в момент срабатывания контакта, а с запаздыванием τ=L/R. Добавим Fτ на график, получим:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt 
R=100;L=0.07;E=100;tm=L/R;T=0.0280;w=2*np.pi/T # параметры RL цепи и частота бойка w    
def dydt(y, t):# функция диф. уравнений для  численного решения
         return -y/tm
def dydt1(y1, t):
         return -y1/tm+E/L
plt.title('Колебательные процессы в звонке', size=12)
y = odeint(dydt, E/R, np.linspace(0,T/4,300))# ток (сила) при размыкании RL, y(0)=E/R
plt.plot(np.linspace(0,T/4,300), y,'b',linewidth=2,label='Сила Fp=Km*Ip')# график 
y1 = odeint(dydt1, 0,  np.linspace(T/2,3*T/4,300))# ток (сила) при замыкании RL, y(0)=0 
plt.plot( np.linspace(T/2,3*T/4,300), y1,'g',linewidth=2,label='Сила Fz=Km*Iz')
t2=np.linspace(0,T,300)
y2=(E/R)*np.sin(w*t2)# уравнение колебаний бойка
plt.plot(t2, y2,"--r",linewidth=2,label='Колебания бойка ')
def con_n(f):
         z=0
         if  np.sin(0)<=np.sin(f)<np.sin(T/4):                 
                  z=E/R
         elif np.sin(T/4)<= np.sin(f)<np.sin(3*T/4):                  
                  z=0
         elif np.sin(3*T/4)<=np.sin(f)<np.sin(T+tm):
                  z=E/R
         return z         
y3=[con_n(q) for q in t2]
plt.plot(t2, y3,"k",linewidth=3,label='Импульсы силы ') 
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()

Обозначим амплитуду силы Fτ через Aτ, получим разложения этой силы в ряд Фурье [4] (учитывая что x=a∙sin(ω∙t), для первых двух членов ряда:

Будем считать, что постоянная составляющая силы Aτ/2 компенсируется регулировкой.
Тогда уравнение для колебаний бойка с учётом его приведенной массы m, трения r и изгибной жёсткости k примет вид:

(1)

Разделим обе части на массу бойка, введем обозначения, получим:

(2)

Для того, чтобы получить аналитические соотношения для частоты и амплитуды колебаний бойка, решим (2) приближённым методом [5]. Преобразуем (2) к виду:

(3)

Подставив в (3) при условии:
пропуская промежуточные выкладки получим соотношения для частоты и амплитуды автоколебаний:

На основании приведенных соотношений можно сделать вывод, что, при отсутствии самоиндукции, звонок работать не может, поскольку при L=0 нет запаздывания τ=0. Таким образом, при нулевом запаздывании автоколебания не возможны.

Автоколебания в измерительной технике (на примере механического резонатора вибрационных плотномеров)

Механические резонаторы в виде трубок пластин или цилиндров широко используются в вибрационных плотномерах, внешний вид которых приведен на рисунках:

Будем рассматривать резонатор c сосредоточенными эквивалентными параметрами: массой жесткостью и трением, характеризуемым коэффициентом

Такая замена вполне допустима в ограниченной области частот при соблюдении равенства собственных частот колебаний обеих систем, а также равенства потерь энергии и обусловленных ими затуханий.

Запишем систему уравнений, описывающих движение резонатора в замкнутой системе возбуждения:

где: F- сила воздействия системы возбуждения на резонатор;
D(x)- неизвестный оператор обратной связи, подлежащий определению; Fупр — упругая восстанавливающая сила резонатора, которая в общем случае может описываться нелинейной функцией; х — поперечное смещение эквивалентной массы.

Воспользуемся выражением кубической упругой характеристики резонатора:

где γ — коэффициент, характеризующий отклонение реальной упругой характеристики от линейной.

Преобразуем записанную систему равенства к виду:

где — нелинейная составляющая упругой силы.

Структурная схема автоколебательной системы, работа которой характеризуется уравнениями, (1) приведена на рисунке:

Схема содержит нелинейное звено, выполняющее функцию корректирующей обратной связи линейного резонатора, имеющего частотную характеристику:

Для решения задачи синтеза оптимальной системы возбуждения, воспользуемся методом гармонической линеаризации [6].

Механические резонаторы являются высокодобротными колебательными системами, которые можно рассматривать как узкополосные фильтры с выходным сигналом вида: x~A∙cos⁡(ω∙τ), где A— амплитуда колебаний резонатора; ω — частота колебаний, близкая к резонансной [7].

Поэтому для нелинейного элемента справедливо соотношение:

Пренебрегая третьей гармоникой, отфильтрованной линейной частью резонатора, частотную характеристику линеаризованного звена нелинейной упругости механического резонатора можно в виде:

Рассмотрим уравнение для первой гармоники колебаний линеаризованной системы:

Для определения вида частотной характеристики D(iω), обеспечивающей совместность этой системы, исключим промежуточные переменные прямой подстановкой их выражений через другие переменные. В результате получим:

Из соотношения (2) определим смещение фазы, осуществляемое системой возбуждения:

Нетрудно установить, что частота автоколебаний не будет зависеть от трения при сдвиге фазы φ=π/2, тогда:

При этом условии из (2) следует, что система возбуждения должна быть дифференцирующим звеном D(iω)=(i*rэ* ω) т.е.

Из (5) следует, что частотная характеристика цепи обратной связи системы возбуждения должна быть пропорциональна коэффициенту трения

Система возбуждения состоит из трех элементов, D(iω)=Dп* Dу* D(в ), характеризующих частотные характеристики: приемника Dп, усилителя Dу и возбудителя D(в ) колебаний. Приемник является дифференцирующим – Dп=Kп* i*ω, а возбудитель усилительным
звеном – Dв=Kв.

Для выполнения условия (5) усилитель должен иметь частотную характеристику:

Коэффициент усиления должен меняться вместе с изменением трения
Звено с переменным коэффициентом усиления можно реализовать простейшей нелинейностью типа двухпозиционного реле, имеющей частотную характеристику по первой гармонике [6]:

где — амплитуда первой гармоники на входе усилителя; — выходное напряжение усилителя, подаваемое на возбудитель колебаний.

Из (6) и (7) можно получить выражение для амплитуды установившихся автоколебаний резонатора:

Для устранения этого влияния амплитуды на частоту резонатора можно стабилизировать амплитуду A варьированием напряжения U0 с помощью регулятора, стабилизирующего амплитуду входного сигнала Aвх, поступающего с приемника колебаний.

Из изложенного можно сделать вывод, что частота автоколебаний резонатора вибрационного измерительного преобразователя не будет зависеть от трения при сдвиге фазы φ=π/2, когда система возбуждения является дифференцирующим звеном, и не будет зависит от амплитуды автоколебаний при стабилизации входного сигнала этого звена.

Автоколебания в радиотехнических генераторах (на примере решения уравнения
Ван-дер-Поля)

Обобщённая схема радиотехнического генератора автоколебаний приведена на рисунке:

Механизм возбуждения автоколебаний в генераторе можно качественно описать следующим образом. Даже при отсутствии напряжения на выходе усилителя напряжение в контуре испытывает случайные флуктуации. Они усиливаются усилителем и вновь поступают в контур через цепь обратной связи.

При этом из шумового спектра флуктуаций будет выделяться составляющая на собственной частоте высокодобротного контура. Если энергия, вносимая в контур таким образом, превосходит энергию потерь, амплитуда колебаний нарастает.

Основной моделью, описывающей автоколебания в радиотехническом генераторе, является уравнение Ван-дер-Поля. Приведём уравнение Ван-дер-Поля к виду, содержащему единственный управляющий параметр с безразмерными переменными:

Получим фазовые портреты (слева) и временные реализации колебаний (справа) осциллятора Ван-дер-Поля: λ =0.1, λ =1.1

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
def f(y, x):
                y1, y2 = y              
                return [y2,(0.1-y2**2)*y2-y1]
x= np.linspace(0,200,601)
y0 = [0.0001,0.0001]
[y1,y2]=odeint(f, y0, x).T
plt.subplot(221)
plt .plot(y1,y2,linewidth=2)
plt .grid(True)
plt.subplot(222)
plt .plot(x,y1,linewidth=2, label='Автоколебания  \n квазигармонические')
plt.legend(loc='best')
plt .grid(True)
def f_1(y, x):
                y1, y2 = y              
                return [y2,(1.1-y2**2)*y2-y1]
x= np.linspace(0,200,601)
y0 = [0.0001,0.0001]
[y1,y2]=odeint(f_1, y0, x).T
plt.subplot(223)
plt .plot(y1,y2,linewidth=2)
plt .grid(True)
plt.subplot(224)
plt .plot(x,y1,linewidth=2, label='Автоколебания \n негармонические')
plt.legend(loc='best')
plt .grid(True)
plt.show()


Для λ =10.0
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
def f(y, x):
                y1, y2 = y              
                return [y2,(10.0-y2**2)*y2-y1]
x= np.linspace(0,200,601)
y0 = [0.0001,0.0001]
[y1,y2]=odeint(f, y0, x).T
plt.subplot(221)
plt .plot(y1,y2,linewidth=2)
plt .grid(True)
plt.subplot(222)
plt .plot(x,y1,linewidth=2, label='Автоколебания \n релаксационные')
plt.legend(loc='best')
plt .grid(True)
plt.show()

Уравнение Ван-дер-Поля имеет единственную особую точку , которая является устойчивым узлом при устойчивым фокусом при неустойчивым фокусом при и неустойчивым узлом при . Если выполнено условие самовозбуждения, на фазовой плоскости имеется также предельный цикл, отвечающий режиму периодических автоколебаний.

Химические колебания. Брюсселятор


Важным и нетривиальным примером автоколебательных процессов служат некоторые химические реакции. Химические колебания — это колебания концентраций реагирующих веществ.

К настоящему времени известно достаточно много колебательных реакций. Наиболее знаменитая из них была открыта Б.П. Белоусовым в 1950 г. и позднее детально изучена А.М. Жаботинским. Реакция Белоусова — Жаботинского (БЖ) представляет собой процесс окисления малоновой кислоты при взаимодействии в присутствии ионов в качестве катализатора.

В ходе реакции раствор периодически изменяет свой цвет: голубой — красный — голубой — красный и т.д. Кроме простых периодических колебаний, реакция БЖ демонстрирует (в зависимости от условий эксперимента) множество различных типов пространственно-временной динамики, которые окончательно еще не исследованы.

Предложены различные математические модели реакции БЖ (например, модель Филда, Кереса и Нойеса — «орегонатор»), однако ни одна из них не описывает полностью все детали, наблюдаемые в эксперименте.

Мы рассмотрим более простой модельный пример: гипотетическую химическую реакцию, которая получила название Брюсселятор [8]. Уравнения этой реакции имеют вид:

Предполагается, что реагенты A и B имеются в избытке, так что их концентрации можно считать постоянными, а D и E ни в какие реакции не вступают. Составим кинетические уравнения, соответствующие реакции, которые описывают динамику концентраций реагирующих веществ.

Поскольку число актов химической реакции в единицу времени определяется вероятностью столкновения молекул реагентов, скорости изменения концентраций продуктов реакции пропорциональны произведению концентраций соответствующих реагентов с коэффициентами пропорциональности, называемыми константами скоростей реакций. Тогда кинетические уравнения можно записать в виде:

Символами Y,X будем теперь обозначать соответствующие концентрации. Отметим, что из третьего уравнения системы следует, что скорость образования вещества X зависит от его концентрации, т.е. эта стадия реакции носит автокаталитический характер. Приведем уравнения (1) к безразмерному виду, содержащему минимальное число управляющих параметров. Для этого перейдём к новым переменным, Тогда уравнения (1) примут вид:

Построим фазовые портреты для: a=1.0; b=2.1; b=3.0;b=5.0

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
b=2.1
def f(y, x):
                y1, y2 = y              
                return [1-(b+1)*y1+(y1**2)*y2, b*y1-(y1**2)*y2]
x= np.linspace(0,100,1001)
y0 = [0.5,1.5]
[y1,y2]=odeint(f, y0, x).T
plt .plot(y1,y2,linewidth=2,label='a=1.0, b=%s'%b)
plt.legend(loc='best')
plt .grid(True)
plt.show()

Таким образом, химический осциллятор демонстрирует поведение, типичное для автоколебательных систем и вполне аналогичное, например, осциллятору Ван-дер-Поля.

Автоколебания в биосистемах (на примере модели Лотки Вольтерра –“Хищник -жертва”)

В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра—Лотка.

Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества. Пусть x и y— число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв y’/x равен a-by, a>0, b>0, где a — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, -by— потери от хищников.

Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи ( x=0 ) относительная скорость изменения популяции хищников равна y’/y =-c, c>0, наличие пищи компенсирует убывание, и при x>0 имеем y’/y =(-c +d*x), d>0.

Таким образом, система Вольтерра—Лотка имеет вид:

где a, b, c, d >0.

Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра Лотка, для a=4 b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x(0)=3, y(0)=1, построенные программой Python для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
a=4;b=2.5; c=2; d=1 
def f(y, t):
                y1, y2 = y              
                return [y1*(a-b*y2),y2*( -c+d*y1)]
t = np.linspace(0,10,201)
y0 = [3, 1]
[y1,y2]=odeint(f, y0, t).T
plt.figure()
plt .plot(y1,y2,linewidth=2)
plt .grid(True)
plt.figure()
plt .plot(t,y1,linewidth=2)
plt .plot(t,y2,linewidth=2)
plt .grid(True)
plt.show()

Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3: 1, обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b=2.5, популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать.

Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x=c/d =2 (в этой точке y’=0), число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины y=a/b =1.6 (в этой точке x’=0).

С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и… процесс повторяется снова и снова.

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и т.п.

Спасибо за внимание!!!

Ссылки:


1. Математическая модель вибрационного уровнемера с резонатором в виде консольной эллиптической трубки.
2. Автоколебания
3. Базовые уравнения задачи синтеза ш-образного электромагнита.
4. О классификации методов преобразования Фурье на примерах их программной реализации средствами Python.
5. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. ГИТЛ.,1952 г., 272 с.
6. Метод гармонической линеаризации средствами Python.
7. Жуков Ю.П. Вибрационные плотномеры. — М. Энергоатомиздат, 1991. —
144с: ил. — (Б-ка по автоматике; Вып 678)
8. И. Пригожин, Р. Лефевр Брюсселятор М. Наука,1968

Автоколебания — Википедия. Что такое Автоколебания

Автоколеба́ния — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.[1]

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Термин автоколебания в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году.

Примеры

Примерами автоколебаний могут служить:

  • незатухающие колебания маятника часов за счёт постоянного действия тяжести заводной гири;
  • колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка
  • возникновение переменного тока в цепях мультивибратора и в других электронных генераторах при постоянном напряжении питания;
  • колебание воздушного столба в трубе орга́на, при равномерной подаче воздуха в неё. (см. также Стоячая волна)
  • флаттер и бафтинг элементов конструкции летательного аппарата.

Автоколебания лежат в основе многих явлений природы:

  • колебания листьев растений под действием равномерного потока воздуха;
  • образование турбулентных потоков на перекатах и порогах рек;
  • голоса людей, животных и птиц образуются благодаря автоколебаниям, возникающим при прохождении воздуха через голосовые связки;
  • действие регулярных гейзеров и пр.

На автоколебаниях основан принцип действия большого количества всевозможных технических устройств и приспособлений, в том числе:

В то же время, в некоторых технических системах автоколебания могут возникать без специального намерения конструкторов этих систем, в результате неудачного выбора их технических параметров. Такие автоколебания могут быть нежелательными (например, «рычание» водопроводного крана при определённых расходах воды), а зачастую разрушительными, являющимися причиной аварий c тяжёлыми последствиями, когда речь идёт о системах с большими уровнями энергии, циркулирующей в них. Например:

  • в турбинах электростанций;
  • в реактивных авиационных (помпаж) и ракетных двигателях;
  • в магистралях газов и жидкостей высокого давления;
  • флаттер различных элементов летательных аппаратов;
  • ветровой резонанс — автоколебания высотных сооружений со значительным аэродинамическим сопротивлением при воздействии ветра определённой скорости (возникновение вихрей Кармана) и др.

Механизм автоколебаний

Рис 1. Механизм автоколебаний

Автоколебания могут иметь различную природу: механическую, тепловую, электромагнитную, химическую. Механизм возникновения и поддержания автоколебаний в разных системах может основываться на разных законах физики или химии. Для точного количественного описания автоколебаний разных систем может потребоваться разный математический аппарат. Тем не менее, можно представить схему, общую для всех автоколебательных систем, качественно описывающую этот механизм (рис. 1).

На схеме: S — источник постоянного (непериодического) воздействия; R — нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (например, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» осциллятор V — колеблющийся элемент (элементы) системы, а колебания осциллятора через обратную связь B управляют работой регулятора R, задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе возмещается за счёт поступления в неё энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают.

Если колеблющийся элемент системы способен к собственным затухающим колебаниям (т. н. гармонический диссипативный осциллятор), автоколебания (при равенстве диссипации и поступления энергии в систему за время периода) устанавливаются на частоте, близкой к резонансной для этого осциллятора, их форма становится близкой к гармонической, а амплитуда, в некотором диапазоне значений, тем больше, чем больше величина постоянного внешнего воздействия.

Примером такого рода системы может служить храповой механизм маятниковых часов, схема которого представлена на рис. 2. На ось храпового колеса A (которое в этой системе выполняет функцию нелинейного регулятора) действует постоянный момент силы M, передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

Автоколебательные системы, не содержащие гармонических осцилляторов, называются релаксационными. Колебания в них могут сильно отличаться от гармонических, и иметь прямоугольную, треугольную или трапецеидальную форму. Амплитуда и период релаксационных автоколебаний определяются соотношением величины постоянного воздействия и характеристик инерционности и диссипации системы.

Рис. 3 Электрозвонок

Простейшим примером релаксационных автоколебаний может служить работа электрического звонка, изображённого на рис. 3. Источником постоянного (непериодического) воздействия здесь является электрическая батарея U; роль нелинейного регулятора выполняет прерыватель T, замыкающий и размыкающий электрическую цепь, в результате чего в ней возникает прерывистый ток; колеблющимися элементами являются магнитное поле, периодически наводимое в сердечнике электромагнита E, и якорь A, движущийся под воздействием переменного магнитного поля. Колебания якоря приводят в действие прерыватель, что и образует обратную связь.

Инерционность этой системы определяется двумя различными физическими величинами: моментом инерции якоря А и индуктивностью обмотки электромагнита E. Увеличение любого из этих параметров приводит к увеличению периода автоколебаний.

При наличии в системе нескольких элементов, колеблющихся независимо друг от друга, и одновременно воздействующих на нелинейный регулятор или регуляторы (которых тоже может быть несколько), автоколебания могут принимать более сложный характер, например, апериодический, или динамический хаос.

Молоток Маклакова

Молоток, совершающий удары за счёт энергии переменного тока с частотой, во много раз меньшей частоты тока в электрической цепи[2].

Катушка L колебательного контура помещается над столом (или другим предметом, по которому требуется ударять). Снизу в неё входит железная трубка, нижний конец которой является ударной частью молотка. В трубке есть вертикальная прорезь, чтобы уменьшить токи Фуко. Параметры колебательного контура такие, что собственная частота его колебаний совпадает с частотой тока в цепи (например, переменного городского тока, 50 герц).

После включения тока и установления колебаний наблюдается резонанс токов контура и внешней цепи, и железная трубка втягивается в катушку. Индуктивность катушки растёт, колебательный контур выходит из резонанса, а амплитуда колебаний тока в катушке уменьшается. Поэтому трубка возвращается в исходное положение — вне катушки — под действием силы тяжести. Затем колебания тока внутри контура начинают нарастать, и снова наступает резонанс: трубка опять втягивается в катушку.

Трубка совершает автоколебания, то есть периодические движения вверх и вниз, и при этом громко стучит по столу, подобно молотку. Период этих механических автоколебаний в десятки раз превосходит период переменного тока, поддерживающего их.

Молоток назван по имени М. И. Маклакова, лекционного ассистента Московского физико-технического института, предложившего и осуществившего такой опыт для демонстрации автоколебаний.

См. также

Примечания

  1. ↑ Воздействие может быть периодическим, например вибрации, и при этом в системе будут возникать автоколебания со своей частотой, отличной от частоты вибраций. В частности, это может происходить благодаря осреднённым вибрационным явлениям, например в случае средних течений, возбуждаемых в вязких пограничных слоях жидкости (слои Стокса, механизм Шлихтинга). Так это происходит при автоколебаниях границы раздела двух жидкостей в осциллирующей системе.
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество.

Литература

Автоколебания — Википедия

Автоколеба́ния — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.[1]

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Термин автоколебания в русскоязычную терминологию введён А. А. Андроновым в 1928 году.

Примеры

Примерами автоколебаний могут служить:

  • незатухающие колебания маятника часов за счёт постоянного действия тяжести заводной гири;
  • колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка
  • возникновение переменного тока в цепях мультивибратора и в других электронных генераторах при постоянном напряжении питания;
  • колебание воздушного столба в трубе орга́на, при равномерной подаче воздуха в неё. (см. также Стоячая волна)
  • флаттер и бафтинг элементов конструкции летательного аппарата.

Автоколебания лежат в основе многих явлений природы:

  • колебания листьев растений под действием равномерного потока воздуха;
  • образование турбулентных потоков на перекатах и порогах рек;
  • голоса людей, животных и птиц образуются благодаря автоколебаниям, возникающим при прохождении воздуха через голосовые связки;
  • действие регулярных гейзеров и пр.

На автоколебаниях основан принцип действия большого количества всевозможных технических устройств и приспособлений, в том числе:

В то же время, в некоторых технических системах автоколебания могут возникать без специального намерения конструкторов этих систем, в результате неудачного выбора их технических параметров. Такие автоколебания могут быть нежелательными (например, «рычание» водопроводного крана при определённых расходах воды), а зачастую разрушительными, являющимися причиной аварий c тяжёлыми последствиями, когда речь идёт о системах с большими уровнями энергии, циркулирующей в них. Например:

  • в турбинах электростанций;
  • в реактивных авиационных (помпаж) и ракетных двигателях;
  • в магистралях газов и жидкостей высокого давления;
  • флаттер различных элементов летательных аппаратов;
  • ветровой резонанс — автоколебания высотных сооружений со значительным аэродинамическим сопротивлением при воздействии ветра определённой скорости (возникновение вихрей Кармана) и др.

Механизм автоколебаний

Рис 1. Механизм автоколебаний

Автоколебания могут иметь различную природу: механическую, тепловую, электромагнитную, химическую. Механизм возникновения и поддержания автоколебаний в разных системах может основываться на разных законах физики или химии. Для точного количественного описания автоколебаний разных систем может потребоваться разный математический аппарат. Тем не менее, можно представить схему, общую для всех автоколебательных систем, качественно описывающую этот механизм (рис. 1).

На схеме: S — источник постоянного (непериодического) воздействия; R — нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (например, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» осциллятор V — колеблющийся элемент (элементы) системы, а колебания осциллятора через обратную связь B управляют работой регулятора R, задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе возмещается за счёт поступления в неё энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают.

Если колеблющийся элемент системы способен к собственным затухающим колебаниям (т. н. гармонический диссипативный осциллятор), автоколебания (при равенстве диссипации и поступления энергии в систему за время периода) устанавливаются на частоте, близкой к резонансной для этого осциллятора, их форма становится близкой к гармонической, а амплитуда, в некотором диапазоне значений, тем больше, чем больше величина постоянного внешнего воздействия.

Примером такого рода системы может служить храповой механизм маятниковых часов, схема которого представлена на рис. 2. На ось храпового колеса A (которое в этой системе выполняет функцию нелинейного регулятора) действует постоянный момент силы M, передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

Автоколебательные системы, не содержащие гармонических осцилляторов, называются релаксационными. Колебания в них могут сильно отличаться от гармонических, и иметь прямоугольную, треугольную или трапецеидальную форму. Амплитуда и период релаксационных автоколебаний определяются соотношением величины постоянного воздействия и характеристик инерционности и диссипации системы.

Рис. 3 Электрозвонок

Простейшим примером релаксационных автоколебаний может служить работа электрического звонка, изображённого на рис. 3. Источником постоянного (непериодического) воздействия здесь является электрическая батарея U; роль нелинейного регулятора выполняет прерыватель T, замыкающий и размыкающий электрическую цепь, в результате чего в ней возникает прерывистый ток; колеблющимися элементами являются магнитное поле, периодически наводимое в сердечнике электромагнита E, и якорь A, движущийся под воздействием переменного магнитного поля. Колебания якоря приводят в действие прерыватель, что и образует обратную связь.

Инерционность этой системы определяется двумя различными физическими величинами: моментом инерции якоря А и индуктивностью обмотки электромагнита E. Увеличение любого из этих параметров приводит к увеличению периода автоколебаний.

При наличии в системе нескольких элементов, колеблющихся независимо друг от друга, и одновременно воздействующих на нелинейный регулятор или регуляторы (которых тоже может быть несколько), автоколебания могут принимать более сложный характер, например, апериодический, или динамический хаос.

Молоток Маклакова

Молоток, совершающий удары за счёт энергии переменного тока с частотой, во много раз меньшей частоты тока в электрической цепи[2].

Катушка L колебательного контура помещается над столом (или другим предметом, по которому требуется ударять). Снизу в неё входит железная трубка, нижний конец которой является ударной частью молотка. В трубке есть вертикальная прорезь, чтобы уменьшить токи Фуко. Параметры колебательного контура такие, что собственная частота его колебаний совпадает с частотой тока в цепи (например, переменного городского тока, 50 герц).

После включения тока и установления колебаний наблюдается резонанс токов контура и внешней цепи, и железная трубка втягивается в катушку. Индуктивность катушки растёт, колебательный контур выходит из резонанса, а амплитуда колебаний тока в катушке уменьшается. Поэтому трубка возвращается в исходное положение — вне катушки — под действием силы тяжести. Затем колебания тока внутри контура начинают нарастать, и снова наступает резонанс: трубка опять втягивается в катушку.

Трубка совершает автоколебания, то есть периодические движения вверх и вниз, и при этом громко стучит по столу, подобно молотку. Период этих механических автоколебаний в десятки раз превосходит период переменного тока, поддерживающего их.

Молоток назван по имени М. И. Маклакова, лекционного ассистента Московского физико-технического института, предложившего и осуществившего такой опыт для демонстрации автоколебаний.

См. также

Примечания

  1. ↑ Воздействие может быть периодическим, например вибрации, и при этом в системе будут возникать автоколебания со своей частотой, отличной от частоты вибраций. В частности, это может происходить благодаря осреднённым вибрационным явлениям, например в случае средних течений, возбуждаемых в вязких пограничных слоях жидкости (слои Стокса, механизм Шлихтинга). Так это происходит при автоколебаниях границы раздела двух жидкостей в осциллирующей системе.
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество.

Литература

Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс. | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Вынужденные колебания.

Вынужденными колебаниями наз. незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы.

 

Если сила не будет периодической, то не возникнет и периодических колебаний. Например, если сила постоянна, то возникает статическое отклонение системы.

Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д.

 

Сила, вызывающая вынужденные колебания, наз. вынуждающей (возмущающей) силой.

 

Если внешняя вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону , то в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой внешней вынуждающей силы (процесс установления колебаний изображен на рисунке: вынужденные колебания накладываются на свободные затухающие колебания; после того, как свободные колебания прекращаются, остаются только вынужденные).

Резонанс.

Явление возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте колебательной системы ω0, называется резонансом.

 

Соответственно данная частота наз. резонансной частотой.

При наличии трения резонансная частота несколько меньше собственной частоты колебательной системы. С энергетической точки зрения при резонансе создаются наилучшие условия для передачи энергии от внешнего источника к колебательной системе.

Резонанс применяется для измерения частоты (частотомеры) вибраций, в акустике. Резонанс необходимо учитывать при расчете балок, мостов, станков и т.д.

 

Автоколебания.

Колебательная система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами (периодичностью), наз. автоколебательной.

 

Примеры: часы, орган, духовые инструменты, сердечно-сосудистая система, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания и т.д.

 

Любая автоколебательная система состоит из 4 частей:

  1. колебательная система;
  2. источник энергии, компенсирующий потери энергии на преодоление сопротивления;
  3. клапан – устройство, регулирующее поступление энергии в колебательную систему определенными порциями и в определенный промежуток времени;
  4. обратная связь – устройство для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан, управляющее работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе.

Примером механической автоколебательной системы могут быть часы с анкерным ходом.

 

Часы с маятником

Ручные часы

Колебательная система

Маятник

Балансир (маховик)

Источник

энергии

Поднятая гиря

Заведенная пружина

Клапан

Анкер

Обратная связь

Взаимодействие анкера

с ходовым колесом

37. Автоколебания. Определение. Примеры.

Автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойтва этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.

38. Вынужденные колебания. Определение. Примеры. Резонанс.

Вынужденные колебания: колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней и периодически изменяющейся силы, называемой вынуждающей силой.

Внешние силы сообщают колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение потерь, происходящих из-за трения.

Если вынуждающая сила изменяется с течением времени по закону sin или cos, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими. При вынужденных колебаниях система получает энергию от источника внешней непрерывной силы непрерывно.

Резонанс-частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при совпадении частот вынуждающей силы и собственной частоты вынужденных колебаний. Резонанс возникает из-за того что при равенстве частот внешняя сила, действующая в такт с вынужденными колебаниями все время соноправлена с вектором скорости колеблющегося тела и при это совершает положительную работу.

39. Внутренняя энергия системы.

Внутренняя энергия какого-либо тела это энергия этого тела за вычетом кинетической энергии как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле силы.

Понятие внутренней энергии включает понятие кинетической энергии хаотического движения молекул, потенциальной энергией взаимодействия между молекулами и внутримолекулярную энергию.

Внутренней энергией является функцией состояния системы, это означает что всякий раз, когда система оказывается в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущее этому состоянию значение, независимо от предыстории системы.

Следовательно, изменение внутренней энергии системы при переходе системы из одного состояния в другое будет равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершился переход.

26. Потенциальная энергия тела.

Потенциальная энергия: энергия, обусловленная взаимным расположенем тел или частей тела, зависящая от их взаимного положения во внешнем силовом поле.

Сил тяжести: энергия возможного действия гравитационного поля Земли на материальную точку, расположенную на высоте h над уровнем моря.

Упругой деформации: запас энергии деформированного упругого тела.

Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна

Презентация по физике на тему: «Автоколебания. Автоколебательные системы»

Слайд 1

ПРЕЗЕНТАЦИЯ по физике п о теме: «Автоколебания. Автоколебательные системы» Ученика 9 класса «А» ГБОУ СОШ № 1465 Фокина Андрея Учитель физики Л.Ю. Круглова Москва, 2013

Слайд 2

Автоколебательные системы. Предельные множества: аттракторы, репеллеры и седла По энергетическому признаку динамические системы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. Физически реализуемой системой является маятник с трением, колебания в котором затухают со временем – система стремится к некоторому устойчивому состоянию, в определенных пределах не зависящему от начального состояния.

Слайд 3

Движения диссипативных систем целесообразно разделить на два класса: переходных, нестационарных движений, отвечающих процессу релаксации системы от начального к некоторому определенному состоянию (множеству состояний), и класс установившихся, стационарных движений, которые отражают устойчивое во времени, стационарное состояние (множество состояний) системы. Стационарный режим не обязательно есть состояние равновесия – это могут быть и колебания, в том числе и очень сложной формы. Они возможны за счет наличия в системе некоторого источника энергии, расходуемой на поддержание движения. Принципиальным также является тот факт, что как потери, так и подкачка энергии, зависят от того, насколько система отклонилась от равновесного состояния. Это свойство является проявлением нелинейности динамической системы.

Слайд 4

Нелинейность и нелинейное ограничение Одним из важных свойств сложных систем является нелинейность. Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни – никогда. Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие некий механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. Что это такое? С физической точки зрения нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. На первом этапе, когда отклонение от исходного состояния мало, оно может нарастать. Дальше в силу ограниченности энергетических ресурсов системы это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду, и управляют этими процессами нелинейные законы. Мы говорим о нелинейности тогда, когда свойства системы непосредственно зависят от ее состояния (в случае линейных систем, их свойства от состояния не зависят).

Слайд 5

Таким образом, в результате действия нелинейности и нелинейного ограничения в динамической системе найдется состояние (траектория), для которого расход и подкачка энергии сбалансированы в среднем во времени. Такое состояние и будет устойчивым. Чтобы подчеркнуть, что система сама, за счет внутренних свойств, достигает подобного колебательного режима и поддерживает его, используют термин « автоколебания ». Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики установившихся колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны внешним периодическим воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Автоколебания отличаются и от свободных колебаний (н-р, колебаний свободно подвешенного маятника) тем, что, во-первых, свободные колебания со временем затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального «толчка», создающего эти колебания.

Слайд 6

Примерами автоколебаний служат: незатухающие колебания маятника часов за счет постоянного действия заводной гири или заведенной пружины; колебания скрипичной струны под воздействием равномерно движущегося смычка; колебание воздушного столба в трубе органа при равномерной подаче воздуха в нее; электрические колебания в ламповом генераторе.

Слайд 7

Механизм автоколебаний Автоколебательные системы можно разделить на 3 основных элемента: 1) колебательную систему; 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются автоколебания и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. S – источник постоянного (непериодического) воздействия; R – нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (н-р, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» колеблющийся элемент системы V , а колебания через обратную связь B управляют работой регулятора R , задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе восстанавливается за счет поступления в нее энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают.

Слайд 8

Если колеблющийся элемент системы способен к собственным затухающим колебаниям (т.н. гармонический диссипативный осциллятор), автоколебания (при равенстве диссипации и поступления энергии в систему за время периода) устанавливаются на частоте, близкой к резонансной для этого осциллятора, их форма становится близкой к гармонической, а амплитуда, в некотором диапазоне значений, тем больше, чем больше величина постоянного внешнего воздействия. Примером такого рода системы может служить анкерный механизм маятниковых часов, схема которого представлена на рисунке. На ось анкерного колеса A (которое в этой системе выполняет функцию нелинейного регулятора) действует постоянный момент силы M , передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

Слайд 9

Чтобы колебания были незатухающими, поступающая из источника в систему энергия должна компенсировать потери энергии в самой системе. Такая компенсация происходит в целом за период колебаний; но в одни части периода поступающая энергия может превышать потери в системе, в другие, наоборот, потери в системе могут превышать поступление энергии в неё. То значение амплитуды колебаний, при котором происходит компенсация потерь в целом за период, и является стационарным (не изменяющимся со временем) значением амплитуды автоколебаний. Такой баланс поступления и потерь энергии оказывается возможным только при определённых значениях амплитуды автоколебаний (в простейших случаях только при одном значении). Обычно при значениях амплитуды колебаний, меньших стационарной, поступление энергии в систему превышает потери в ней, вследствие чего амплитуда колебаний возрастает и достигает стационарного значения. В частности, если в систему поступает энергия больше, чем теряется в ней при сколь угодно малых амплитудах колебаний, то происходит самовозбуждение колебаний. Наоборот, при амплитудах, превышающих стационарное значение, потери энергии в системе обычно превышают поступление энергии из источника, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается и также достигает стационарного значения. Таким образом, отклонения амплитуды автоколебаний в ту или другую сторону от стационарного значения затухают, и автоколебания в этих случаях устойчивы.

Слайд 10

Молоток Маклаков Молоток, совершающий удары за счёт энергии электрической цепи переменного тока с частотой, во много раз меньшей частоты тока в цепи. Катушка L колебательного контура помещается над столом. Снизу в неё входит железная трубка, нижний конец которой является ударной частью молотка. В трубке есть вертикальная прорезь, чтобы уменьшить токи Фуко. Параметры колебательного контура такие, что собственная частота его колебаний совпадает с частотой тока в цепи (например, переменного городского тока, 50 герц). После включения тока и установления колебаний наблюдается резонанс токов контура и внешней цепи, и железная трубка втягивается в катушку. Индуктивность катушки растёт, колебательный контур выходит из резонанса, а амплитуда колебаний тока в катушке уменьшается. Поэтому трубка возвращается в исходное положение — вне катушки — под действием силы тяжести. Затем колебания тока внутри контура начинают нарастать, и снова наступает резонанс: трубка опять втягивается в катушку. Трубка совершает автоколебания , то есть периодические движения вверх и вниз, и при этом громко стучит по столу, подобно молотку.

Слайд 11

Обобщенная схема радиофизического генератора автоколебаний В простейших автоколебательных системах можно, как правило, выделить следующие основные элементы: колебательная система с затуханием; усилитель, содержащий источник энергии и преобразователь энергии источника в энергию колебаний; нелинейный ограничитель; звено обратной связи. Напряжение с контура подается на вход активного элемента – усилителя с нелинейной характеристикой (зависимость тока усилителя на выходе от напряжения на входе). Выход усилителя нагружен на катушку индуктивности, которая индуктивно связана с катушкой контура – так обеспечивается обратная связь. Механизм возникновения автоколебаний можно описать следующим образом. Даже при отсутствии напряжения на выходе усилителя, напряжение в контуре испытывает некоторые флуктуации (в контуре случайным образом возникают малые собственные колебания). Они усиливаются усилителем и вновь поступают в контур через цепь обратной связи. Если энергия, вносимая таким образом, превосходит энергию потерь, амплитуда колебаний нарастает (для этого необходимо, чтобы коэффициент усиления был достаточно велик). Но так как зависимость i (u) нелинейна , то с ростом напряжения, коэффициент усиления начнет падать. Энергия, поступающая в контур, будет уменьшаться и при некоторой амплитуде колебаний станет равной энергии потерь. В контуре установятся стационарные автоколебания с постоянной амплитудой.

Слайд 12

Ламповый генератор Ван дер Поля как классическая модель автоколебательной системы

Слайд 13

Чтобы колебания были незатухающими, поступающая из источника в систему энергия должна компенсировать потери энергии в самой системе. Такая компенсация происходит в целом за период колебаний; но в одни части периода поступающая энергия может превышать потери в системе, в другие, наоборот, потери в системе могут превышать поступление энергии в неё. То значение амплитуды колебаний, при котором происходит компенсация потерь в целом за период, и является стационарным (не изменяющимся со временем) значением амплитуды автоколебаний. Такой баланс поступления и потерь энергии оказывается возможным только при определённых значениях амплитуды автоколебаний (в простейших случаях только при одном значении). Обычно при значениях амплитуды колебаний, меньших стационарной, поступление энергии в систему превышает потери в ней, вследствие чего амплитуда колебаний возрастает и достигает стационарного значения. В частности, если в систему поступает энергия больше, чем теряется в ней при сколь угодно малых амплитудах колебаний, то происходит самовозбуждение колебаний. Наоборот, при амплитудах, превышающих стационарное значение, потери энергии в системе обычно превышают поступление энергии из источника, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается и также достигает стационарного значения. Таким образом, отклонения амплитуды автоколебаний в ту или другую сторону от стационарного значения затухают, и автоколебания в этих случаях устойчивы.

Колебание

— Infogalactic: ядро ​​планетарного знания

Файл: Self возбужденное колебание.svg

Схематическое изображение автоколебания в виде контура положительной обратной связи. Генератор В выдает сигнал обратной связи В . Контроллер на R использует этот сигнал для модуляции внешнего питания S , которое воздействует на генератор. Если мощность модулируется синхронно со скоростью осциллятора, устанавливается отрицательное демпфирование и колебания растут, пока не будут ограничены нелинейностями.

Автоколебание — это создание и поддержание периодического движения источником энергии, которому не хватает соответствующей периодичности. Сам генератор регулирует фазу, с которой на него действует внешнее питание. Таким образом, автогенераторы отличаются от принудительных и параметрических резонаторов, в которых мощность, поддерживающая движение, должна модулироваться извне. В линейных системах автоколебания проявляются как нестабильность, связанная с отрицательным демпфирующим членом, который вызывает экспоненциальный рост амплитуды малых возмущений.Это отрицательное затухание происходит из-за положительной обратной связи между колебаниями и модуляцией внешнего источника энергии. Амплитуда и форма установившихся автоколебаний определяются нелинейными характеристиками системы.

Автоколебания важны в физике, технике, биологии и экономике. Изучение автогенераторов восходит к 19 веку Роберта Уиллиса, Джорджа Бидделла Эйри, Джеймса Клерка Максвелла и лорда Рэлея. Сам термин (также переводимый как «автоколебания») был введен советским физиком Александром Андроновым, который изучал их в контексте математической теории структурной устойчивости динамических систем.Другая важная работа по этому вопросу, как теоретическая, так и экспериментальная, принадлежит Андре Блонделю, Бальтазару ван дер Полю и Филиппу Ле Корбейлеру в 20 веке. Одно и то же явление иногда обозначают как «поддерживаемое», «устойчивое», «самовозбуждающее», «самоиндуцированное», «спонтанное» или «автономное» колебание. Нежелательные автоколебания известны в литературе по машиностроению как охота, а в электронике — как паразитные колебания. Важные ранее изученные примеры автоколебаний включают центробежный регулятор [1] и железнодорожные колеса.

Математическая основа

Основная статья: Колебания (дифференциальное уравнение)

Автоколебания проявляются как линейная неустойчивость статического равновесия динамической системы. Два математических теста, которые можно использовать для диагностики такой нестабильности, — это критерии Рауса-Гурвица и Найквиста. Амплитуда колебаний нестабильной системы экспоненциально возрастает со временем (т. Е. Малые колебания затухают отрицательно), пока нелинейности не станут важными и ограничат амплитуду.Это может вызвать устойчивые и устойчивые колебания. В некоторых случаях автоколебания можно рассматривать как результат запаздывания по времени в замкнутой системе, что делает изменение переменной x t зависимой от переменной x t-1 , оцененной ранее. время.

Примеры в технике

Колеса железнодорожные и автомобильные

Резкие колебания железнодорожных колес и шимминг автомобильных шин могут вызывать дискомфортный эффект качения, который в крайних случаях может привести к сходу поездов с рельсов и потере сцепления автомобилей с дорогой.

Термостаты центрального отопления

Ранние термостаты центрального отопления были виновны в автоколебаниях, потому что они слишком быстро реагировали. Проблему удалось преодолеть с помощью гистерезиса, то есть заставить их переключаться в состояние только тогда, когда температура отклоняется от заданной на заданную минимальную величину.

АКПП

Самовозбуждающиеся колебания возникали в ранних конструкциях автоматических трансмиссий, когда транспортное средство двигалось со скоростью, находящейся между идеальными скоростями для двух передач.В этих ситуациях система трансмиссии почти непрерывно переключалась между двумя передачами, что раздражало и затрудняло работу трансмиссии. Такое поведение теперь подавляется введением в систему гистерезиса.

Управление транспортными средствами при задержке корректировки курса

Существует множество примеров автоколебаний, вызванных задержкой корректировки курса, от легкого самолета при сильном ветре до неустойчивого управления дорожным транспортным средством неопытным или нетрезвым водителем.

SEIG (самовозбуждающийся индукционный генератор)

Если асинхронный двигатель подключен к конденсатору и вал вращается со скоростью выше синхронной, он работает как самовозбуждающийся индукционный генератор.

Самовозбуждающие передатчики

Многие ранние радиосистемы настраивали схемы своих передатчиков таким образом, чтобы система автоматически создавала радиоволны желаемой частоты. Эта конструкция обычно уступает место проектам, в которых используется отдельный генератор для обеспечения сигнала, который затем усиливается до желаемой мощности.

Примеры в других областях

Популяционные циклы в биологии

Например, сокращение популяции травоядных животных из-за хищничества, это приводит к сокращению популяции хищников этого вида, снижение уровня хищничества позволяет увеличивать популяцию травоядных животных, это позволяет увеличивать популяцию хищников и т. Д. дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени являются достаточным объяснением таких циклов — в этом случае задержки вызваны в основном циклами размножения рассматриваемых видов.

См. Также

Список литературы

  1. «О губернаторах». JSTOR 112510.
.

Автоколебания — Большая Химическая Энциклопедия

Заикин А.Н., Жаботинский А.М. 1970 Распространение волны концентрации в двумерной жидкофазной автоколебательной системе Nature 225 535-7 … [Pg.1117]

Простейшая схема линейного ускорителя показана на рис. 5. Здесь один источник, либо автоколебательный магнетрон, либо клистронный усилитель с соответствующими каскадами возбуждения, подает энергию на одну длину волны ускорителя -… [Pg.1029]

Проскуряков, К.Н., 1965. Автоколебания в одиночном парогенерирующем канале // Теплоэнергетика. (СССР) 12 (3) 96 100. (5) … [Pg.549]

Следующий вопрос, теряется ли КПД в коммутаторе. Если да, то для этого может быть много причин. Коммутатор может работать с потерями просто потому, что его привод неадекватен. Ранние автоколебательные преобразователи (генераторы звенящего дросселя) имели очень большие потери, потому что привод медленно опускался до точки, когда он просто не мог поддерживать себя, а затем выключался.Современные автоколебательные преобразователи в этом отношении значительно усовершенствовались, и вы даже можете найти полноценные блоки питания для ПК с несколькими выходами, в которых нет единственного … [Стр.222]

А. Н. Малахов, Колебания в автоколебательных системах М., Наука, М., 1968. [Pg.437]

В последнее время наблюдается рост интереса к автоколебательным явлениям, а также к формированию пространственно-временной структуры, сопровождаемый быстрым развитием теории динамики таких систем в нелинейных, неравновесных условиях.Открытие модельных химических реакций, вызывающих автоколебания и пространственно-временные структуры, ускорило исследования нелинейной динамики в химии. Реакция Белоусова-Жаботинского (Б-З) — самая известная среди таких типов колебательных химических реакций, и она наиболее часто изучается в течение последних двух десятилетий [1,2]. Реакция B-Z вызвала большой интерес у ученых с различными дисциплинами, поскольку в этой реакции ритмическое изменение между состояниями окисления и восстановления можно легко наблюдать в пробирке.Поскольку воспроизводимость амплитуды, периода и некоторых других экспериментальных показателей довольно высока при найденных условиях, механизм реакции B-Z был почти полностью понят до настоящего времени. Самым важным шагом в возникновении колебаний является наличие автокаталитического процесса в реакционной сети. [Pg.222]

Для низких концентраций HF, порядка 0,1%, поведение границы раздела не является колебательным, а скорее резонансным, если потенциал установлен на фиксированное значение и время для стабилизации дается, установившееся состояние наконец достигается постоянный ток.Добавление последовательного резистора порядка 1 кДа crrf2 приводит к устойчивым потенциостатическим колебаниям [Ch5]. При более высоких концентрациях HF, составляющих около 2-5% водного HF, система является автоколебательной, если последовательное сопротивление самого электролита составляет без электронной компенсации. При еще более высоких концентрациях периодичность теряется и … [Стр.90]

М. Перес, Р. Фонт и М. А. Монтава. Регулярная автоколебательная и хаотическая динамика реактора с непрерывным перемешиванием. Comput. Chem.Eng., 26 889-901, 2002. [Pg.32]

M. Perez and P. Albertos. Автоколебательное и хаотическое поведение CSTR с ПИ-регулированием с насыщением регулирующего клапана. J. Process Control, 14 51-59, 2004. [Pg.114]

Хорошо известно, что теория автоколебаний касается ветвления периодических решений системы дифференциальных уравнений в точке равновесия. От Пуанкаре, Андронова [4] до классической работы Хопфа [12], [18] нелинейные осцилляторы рассматривались во многих контекстах.Пример классического электрического неосциллятора Ван дер Поля можно найти в работе Картрайта [7]. Пур, а затем Уппал [32] были первыми исследователями, которые применили теорию нелинейных осцилляторов к необратимой экзотермической реакции AB в CSTR. Впоследствии несколько примеров автоколебаний (бифуркация Андронова-Пуанкара-Хопфа) были исследованы в CSTR и трубчатых реакторах. Другой … [Pg.243]

Эксперименты и моделирование моделей CSTR выявили сложное динамическое поведение, которое может быть предсказано классической теорией Андронова-Пуанкаре-Хопфа, включая предельные циклы, множественные предельные циклы, квазипериодические колебания, переходы к хаотической динамике и хаотическому поведению.Примеры автоколебаний для реагирующих систем можно найти в [4], [17], [18], [22], [23], [29], [30], [32], [33], [36]. ]. Работа Манкина и Хадсона [17], в которой имеет место CSTR с простой реакцией AB, показывает, что можно привести реактор к хаосу, нарушив температуру охлаждения. В статье Perez, Font и Montava [22] было показано, что CSTR может быть приведен в хаос, возмущая расход охлаждающей жидкости. С помощью численного моделирования также было установлено, что могут возникать периодические, квазипериодические и хаотические поведения.[Pg.244]

Совсем недавно проблема автоколебаний и хаотического поведения КСТР с системой управления рассматривалась в других статьях и книгах [2], [3], [8], [9], [13], [14], [20], [21], [27]. В цитированных ранее статьях стратегия управления варьируется от простого ПИД-регулирования до робастной асимптотической стабилизации. В этих статьях исследуется переход от автоколебательного к хаотическому поведению, показывая, что существуют различные пути к хаосу от удвоения периода до существования гомоклинической орбиты Шильникова [25], [26].Интересно отметить, что в неуправляемой КСТР с простой необратимой реакцией A B не возникает гомоклинической орбиты с седловой точкой. Следовательно, метод Мельникова не может быть применен для подтверждения существования хаотической динамики [34]. [Pg.244]

В данной главе рассматривается установившееся состояние, автоколебание и хаотическое поведение экзотермического CSTR без регулирования и с ПИ-регулированием. Математические модели были объяснены в первой части, поэтому можно использовать упрощенную модель и более сложную модель с учетом наличия инертных веществ.Когда реактор работает без какой-либо системы управления и с простой необратимой реакцией первого порядка, будет показано, что существуют интервалы температуры и концентрации входящего потока, из которых может появиться небольшая область или выступ. Эта доля — не область притяжения или странный аттрактор. Он представляет собой зону в плоскости параметров температура-концентрация потока входящего потока, где реактор имеет автоколебательный режим без каких-либо периодических внешних возмущений. [Pg.244]

Автоколебания и хаотическое поведение CSTR без управления с обратной связью… [Pg.247]

Уравнения (4) и (8) могут использоваться для моделирования реактора в точке P3 на Рисунке 5 в [1]. Помните, что точка P2 нестабильна, поэтому, если начальные условия соответствуют этой точке, легко показать [16], [28], что реактор эволюционирует в точки P или P3. Затем рассматриваются два форсирующих воздействия на реактор: 1) когда расход теплоносителя и температура входящего потока изменяются как синусоидальные волны, и 2) реактор находится в автоколебательном режиме, внешнее возмущение в расходе теплоносителя может управлять им. к хаотичному поведению.[Pg.247]

Хорошо известно, что нелинейная система с внешним периодическим возмущением может достигать хаотической динамики. В CSTR было показано, что изменение температуры теплоносителя от базового автоколебательного состояния заставляет реактор переходить от периодического поведения к хаотическому [17]. С другой стороны, в [22] было показано, что можно достичь хаотического поведения из-за внешнего синусоидального возмущения расхода теплоносителя. Обратите внимание, что периодические возмущения могут появиться, например, когда параметры ПИД-регулятора, который управляет расходом охлаждающей жидкости, настраиваются с использованием правил Циглера-Николса.Хаотическое поведение трудно получить из нормального … [Pg.247]

Гораздо более интересный случай хаотической динамики реактора может быть получен при изучении автоколебательного поведения. Рассмотрим упрощенную математическую модель (8) и предположим, что реактор находится в установившемся режиме с концентрацией реагента, равной (8), точка равновесия [x, y] может быть выведена следующим образом … [Pg.253]

Чтобы получить зону автоколебаний в плоскости xo — yo, рассмотрим якобиан линеаризованной системы (8)… [Pg.255]

Уравнение (18) имеет два комплексных корня с действительной частью, равной нулю, и, следовательно, можно вывести связь между x и y. Подставляя уравнение (18) в уравнение (12), мы получаем параметрическое уравнение xo = fi y) — исключая xo между xo = fi y) и уравнением (13), выводятся параметрические уравнения автоколебательного поведения. .. [Pg.255]

Еще один интересный аспект автоколебательного поведения заключается в следующем. Если значения xo, yo) находятся внутри лепестка, внешнее периодическое возмущение расхода теплоносителя может привести реактор к хаотическому поведению.[Pg.258]

Значения Km и T2d из уравнения (36) могут быть получены из передаточной функции линеаризованной модели в точке равновесия, применяя традиционные методы линейной теории управления (см. [1]). Чтобы исследовать автоколебательное поведение, можно определить линеаризованную систему в точке равновесия и соответствующие комплексные собственные значения с нулевой действительной частью при изменении параметров Km и ПИ-регулятора. Например, с учетом уравнения.(34) матрица Якоби линеаризованной системы при безразмерной заданной температуре xs имеет следующий вид … [Pg.264]

Безразмерная постоянная Ktd и частота автоколебаний для различного интегрального действия T2d … [Pg .264]

Если предположить, что S> 0, S 4> 0 и S1S2 — S3> 0, условие автоколебательного поведения задается уравнением … [Pg.265]

На рисунке 13 показано изменение Km для различных значений T2d и соответствующих частот автоколебаний.На рисунке 14 показано колебательное поведение реактора при значениях Xg = 0,0398 и T2d = 0,5, Ktd = 19,6. [Pg.265]

Обратите внимание, что рисунок 13 можно использовать для сравнения параметров контроллера, когда они получены из правил Циглера-Николса или Коэна-Кума. С другой стороны, на Рисунке 14 можно увидеть, что безразмерный расход на выходе и объем реактора достигают стационарного состояния, тогда как безразмерная температура реактора остается в автоколебательном режиме. Знание режима автоколебаний в CSTR важно как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения, поскольку есть экспериментальные доказательства того, что поведение автоколебаний может быть полезно в промышленной среде.[Pg.265]

Из исследования, представленного в этой главе, было продемонстрировано, что CSTR, в котором имеет место экзотермическая необратимая реакция первого порядка, может работать с установившейся, автоколебательной или хаотической динамикой. Используя безразмерные переменные и принимая во внимание внешнее периодическое возмущение температуры входящего потока и расхода теплоносителя, было показано, что может возникать хаотическая динамика. Это поведение было проанализировано по показателям Ляпунова и спектру мощности.[Pg.272]

На основе результатов, представленных в этой главе, можно запланировать более продвинутые исследования теории бифуркаций. Например, внутри лепестка реактор имеет автоколебательный характер, т.е. бифуркацию Андронова-Пуанкаре-Хопфа можно исследовать из расчета первого значения Ляпунова, чтобы узнать, может ли появиться слабый фокус, или условия, которые дают бифуркацию Богданова-Такенса и т. д. Наконец, интересно отметить, что ранее проанализированные явления должны быть известны инженеру по контролю, чтобы либо избежать их, либо использовать их, в зависимости от типа процесса.[Pg.273]

Чтобы избежать этого недостатка, Boersch и соавторы 2) использовали связанные резонаторы. Первый активный лазерный резонатор генерирует излучение, поглощение которого необходимо измерить. Зонд помещается во вторую полость, которая соединена с первой и не демпфируется активной средой чуть ниже порога автоколебаний. Такое расположение позволяет обнаруживать изменения показателя преломления до 10 ° или коэффициентов поглощения до 10. [Pg.15]

Мониторы имеют размер от 250 до 4000 галлонов в минуту (950-15 140 л / мин), наиболее распространенные размеры — от 500 до 1000 галлонов в минуту (1 900-3 800 л / мин).В производственных зонах, не защищенных от водяных брызг, мониторы следует располагать так, чтобы на каждую основную часть оборудования можно было прикрыть два монитора. Поднятые мониторы применяются там, где необходимо подавать большие объемы воды в области, недоступные для наземных мониторов или небезопасные для ручного пожаротушения. Поднятые мониторы могут быть закреплены для дистанционного использования, автоколебания или дистанционного управления из безопасного места. [Стр.175]


.

Свободные, вынужденные и демпфированные колебания

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1 — 3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
        • Класс 110003 CBSE
          • Книги NCERT
            • Книги NCERT для класса 5
            • Книги NCERT, класс 6
            • Книги NCERT для класса 7
            • Книги NCERT для класса 8
            • Книги NCERT для класса 9
            • Книги NCERT для класса 10
            • NCERT Книги для класса 11
            • NCERT Книги для класса 12
          • NCERT Exemplar
            • NCERT Exemplar Class 8
            • NCERT Exemplar Class 9
            • NCERT Exemplar Class 10
            • NCERT Exemplar Class 11
            • 9plar
            • RS Aggarwal
              • RS Aggarwal Решения класса 12
              • RS Aggarwal Class 11 Solutions
              • RS Aggarwal Решения класса 10
              • Решения RS Aggarwal класса 9
              • Решения RS Aggarwal класса 8
              • Решения RS Aggarwal класса 7
              • Решения RS Aggarwal класса 6
            • RD Sharma
              • RD Sharma Class 6 Решения
              • RD Sharma Class 7 Решения
              • Решения RD Sharma класса 8
              • Решения RD Sharma класса 9
              • Решения RD Sharma класса 10
              • Решения RD Sharma класса 11
              • Решения RD Sharma Class 12
            • PHYSICS
              • Механика
              • Оптика
              • Термодинамика
              • Электромагнетизм
            • ХИМИЯ
              • Органическая химия
              • Неорганическая химия
              • Периодическая таблица
            • MATHS
              • Статистика
              • 9000 Pro Числа
              • Числа
              • 9000 Pro Числа Тр Игонометрические функции
              • Взаимосвязи и функции
              • Последовательности и серии
              • Таблицы умножения
              • Детерминанты и матрицы
              • Прибыль и убытки
              • Полиномиальные уравнения
              • Деление фракций
            • Microology
                0003000
            • FORMULAS
              • Математические формулы
              • Алгебраические формулы
              • Тригонометрические формулы
              • Геометрические формулы
            • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
              • Математические калькуляторы
              • 0003000
              • 000 Калькуляторы
              • 000 Физические модели 900 Образцы документов для класса 6
              • Образцы документов CBSE для класса 7
              • Образцы документов CBSE для класса 8
              • Образцы документов CBSE для класса 9
              • Образцы документов CBSE для класса 10
              • Образцы документов CBSE для класса 1 1
              • Образцы документов CBSE для класса 12
            • Вопросники предыдущего года CBSE
              • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
              • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
            • HC Verma Solutions
              • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
              • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
            • Решения Лакмира Сингха
              • Решения Лакмира Сингха класса 9
              • Решения Лахмира Сингха класса 10
              • Решения Лакмира Сингха класса 8
            • 9000 Класс
            9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE
          • Примечания CBSE класса 7
          • Примечания
          • Примечания CBSE класса 8
          • Примечания CBSE класса 9
          • Примечания CBSE класса 10
          • Примечания CBSE класса 11
          • Примечания 12 CBSE
        • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
        • CBSE Примечания к редакции класса 10
        • CBSE Примечания к редакции класса 11
        • Примечания к редакции класса 12 CBSE
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
        • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
        • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
        • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE Вопросы
        • CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Class 10 Science Extra questions
      • CBSE Class
        • Class 3
        • Class 4
        • Class 5
        • Class 6
        • Class 7
        • Class 8 Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Учебные решения
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 по физике
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения NCERT для биологии класса 11
        • Решение NCERT s Для класса 11 по математике
        • NCERT Solutions Class 11 Accountancy
        • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
        • NCERT Solutions Class 11 Economics
        • NCERT Solutions Class 11 Statistics
        • NCERT Solutions Class 11 Commerce
      • NCERT Solutions for Class 12
        • Решения NCERT для физики класса 12
        • Решения NCERT для химии класса 12
        • Решения NCERT для биологии класса 12
        • Решения NCERT для математики класса 12
        • Решения NCERT, класс 12, бухгалтерия
        • Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
        • NCERT Solutions Class 12 Economics
        • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
        • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
        • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
        • NCERT Solutions Class 12 Commerce
        • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
      • NCERT Solut Ионы Для класса 4
        • Решения NCERT для математики класса 4
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для математики класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для математики класса 6
        • Решения NCERT для науки класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
        • Решения NCERT для класса 6 Английский язык
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для математики класса 7
        • Решения NCERT для науки класса 7
        • Решения NCERT для социальных наук класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Английский язык
      • Решения NCERT для класса 8
        • Решения NCERT для математики класса 8
        • Решения NCERT для науки 8 класса
        • Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
        • Решения NCERT для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
      • Решения NCERT для математики класса 9
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 2
        • Решения NCERT
        • для математики класса 9, глава 3
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 5
        • Решения NCERT
        • для математики класса 9, глава 6
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 7
        • Решения NCERT
        • для математики класса 9, глава 8
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 9
        • Решения NCERT для математики класса 9, глава 10
        • Решения NCERT
        • для математики класса 9, глава 11
        • Решения
        • NCERT для математики класса 9 Глава 12
        • Решения NCERT
        • для математики класса 9 Глава 13
        • NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки класса 9
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
        • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13
        • Решения NCERT
        • для науки класса 9 Глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 2
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 3
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 4
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 5
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 6
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 7
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 8
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 9
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава ter 13
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 науки Глава 1
        • Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 2
        • Решения NCERT для класса 10, глава 3
        • Решения NCERT для класса 10, глава 4
        • Решения NCERT для класса 10, глава 5
        • Решения NCERT для класса 10, глава 6
        • Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 7
        • Решения NCERT для класса 10, глава 8,
        • Решения NCERT для класса 10, глава 9
        • Решения NCERT для класса 10, глава 10
        • Решения NCERT для класса 10, глава 11
        • Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 12
        • Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 13
        • NCERT S Решения для класса 10 по науке Глава 14
        • Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 15
        • Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Commerce
      • Class 11 Commerce Syllabus
        • Учебный план класса 11
        • Учебный план бизнес-класса 11 класса
        • Учебный план экономического факультета 11
      • Учебный план по коммерции 12 класса
        • Учебный план класса 12
        • Учебный план бизнес-класса 12
        • Учебный план
        • Класс 12 Образцы документов для торговли
          • Образцы документов для предприятий класса 11
          • Образцы документов для коммерческих предприятий класса 12
        • TS Grewal Solutions
          • TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
          • TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
        • Отчет о движении денежных средств 9 0004
        • Что такое предпринимательство
        • Защита прав потребителей
        • Что такое основные средства
        • Что такое баланс
        • Что такое фискальный дефицит
        • Что такое акции
        • Разница между продажами и маркетингом
        9100003
      • ICC
      • Образцы документов ICSE
      • Вопросы ICSE
      • ML Aggarwal Solutions
        • ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
        • ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
        • ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
        • ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths Решения Математика класса 6
      • Решения Селины
        • Решения Селины для класса 8
        • Решения Селины для класса 10
        • Решение Селины для класса 9
      • Решения Фрэнка
        • Решения Фрэнка для математики класса 10
        • Франк Решения для математики 9 класса
        9000 4
      • ICSE Class
        • ICSE Class 6
        • ICSE Class 7
        • ICSE Class 8
        • ICSE Class 9
        • ICSE Class 10
        • ISC Class 11
        • ISC Class 12
    • IC
      • 900 Экзамен по IAS
      • Экзамен по государственной службе
      • Программа UPSC
      • Бесплатная подготовка к IAS
      • Текущие события
      • Список статей IAS
      • Мок-тест IAS 2019
        • Мок-тест IAS 2019 1
        • Мок-тест IAS4
        2
      • Комиссия по государственным услугам
        • Экзамен KPSC KAS
        • Экзамен UPPSC PCS
        • Экзамен MPSC
        • Экзамен RPSC RAS ​​
        • TNPSC Group 1
        • APPSC Group 1
        • Экзамен BPSC
        • Экзамен WPSC
        • Экзамен JPSC
        • Экзамен GPSC
      • Вопросник UPSC 2019
        • Ответный ключ UPSC 2019
      • 900 10 Коучинг IAS
        • Коучинг IAS Бангалор
        • Коучинг IAS Дели
        • Коучинг IAS Ченнаи
        • Коучинг IAS Хайдарабад
        • Коучинг IAS Мумбаи
    • JEE4
    • 9000 JEE 9000 JEE 9000 Advanced
    • Образец статьи JEE
    • Вопросник JEE
    • Биномиальная теорема
    • Статьи JEE
    • Квадратное уравнение
  • NEET
    • Программа BYJU NEET
    • NEET 2020
    • NEET Eligibility
    • NEET Eligibility
    • NEET Eligibility 2020 Подготовка
    • NEET Syllabus
    • Support
      • Разрешение жалоб
      • Служба поддержки
      • Центр поддержки
  • Государственные советы
    • GSEB
      • GSEB Syllabus
      • GSEB Образец статьи 003 GSEB Books
    • MSBSHSE
      • MSBSHSE Syllabus
      • MSBSHSE Учебники
      • MSBSHSE Образцы статей
      • MSBSHSE Вопросники
    • AP Board
    • AP Board
    • 9000 AP Board
        9000 AP Board
          9000
        • AP 2 Year Syllabus
      • MP Board
        • MP Board Syllabus
        • MP Board Образцы документов
        • Учебники MP Board
      • Assam Board
        • Assam Board Syllabus
        • Assam Board
        • Assam Board
.Автоколебание

Wikipedia

Схематическое изображение автоколебания как петли положительной обратной связи. Генератор В выдает сигнал обратной связи В . Контроллер R использует этот сигнал для модуляции внешнего источника питания S , воздействующего на генератор. Если мощность модулируется синхронно со скоростью осциллятора, устанавливается отрицательное демпфирование и колебания растут, пока не будут ограничены нелинейностями.

Автоколебание — это создание и поддержание периодического движения источником энергии, не имеющим соответствующей периодичности.Сам генератор регулирует фазу, с которой на него действует внешнее питание. Таким образом, автогенераторы отличаются от принудительных и параметрических резонаторов, в которых мощность, поддерживающая движение, должна модулироваться извне. В линейных системах автоколебания проявляются как нестабильность, связанная с отрицательным демпфирующим членом, который вызывает экспоненциальный рост амплитуды малых возмущений. Это отрицательное затухание происходит из-за положительной обратной связи между колебаниями и модуляцией внешнего источника энергии.Амплитуда и форма установившихся автоколебаний определяются нелинейными характеристиками системы. Автоколебания важны в физике, технике, биологии и экономике.

История предмета []

Изучение автогенераторов началось в XIX веке Робертом Уиллисом, Джорджем Бидделлом Эйри, Джеймсом Клерком Максвеллом и лордом Рэли. Сам термин (также переводимый как «автоколебания») был введен советским физиком Александром Андроновым, который изучал их в контексте математической теории структурной устойчивости динамических систем.Другая важная работа по этому вопросу, как теоретическая, так и экспериментальная, была сделана Андре Блонделем, Бальтазаром ван дер Полем, Альфредом-Мари Льенаром и Филиппом Ле Корбейлером в 20 веке. [1]

То же явление иногда обозначается как «поддерживаемое», «устойчивое», «самовозбуждение», «самоиндуцированное», «спонтанное» или «автономное» колебание. Нежелательные автоколебания известны в литературе по машиностроению как охота, а в электронике — как паразитные колебания. [1] Важными ранее изученными примерами автоколебаний являются центробежный регулятор [2] и железнодорожные колеса.

Математическая основа []

Автоколебание проявляется как линейная неустойчивость статического равновесия динамической системы. Два математических теста, которые можно использовать для диагностики такой нестабильности, — это критерии Рауса – Гурвица и Найквиста. Амплитуда колебаний нестабильной системы экспоненциально возрастает со временем (т. Е. Малые колебания затухают отрицательно), пока нелинейности не станут важными и ограничат амплитуду.Это может вызвать устойчивые и устойчивые колебания. В некоторых случаях автоколебания можно рассматривать как результат запаздывания по времени в замкнутой системе, что делает изменение переменной x t зависимой от переменной x t-1 , оцененной ранее. время. [1]

Примеры в технике []

Железнодорожные и автомобильные колеса []

Резкие колебания в железнодорожных колесах и шимминг в автомобильных шинах могут вызывать дискомфортный эффект качения, который в крайних случаях может привести к сходу поездов с рельсов и потере сцепления автомобилей с дорогой.

Термостаты центрального отопления []

Ранние термостаты центрального отопления были виноваты в автоколебаниях, потому что они слишком быстро реагировали. Проблему удалось преодолеть с помощью гистерезиса, то есть заставить их переключаться в состояние только тогда, когда температура отклоняется от заданной на заданную минимальную величину.

Автоматические коробки передач []

Самовозбуждающиеся колебания возникали в ранних конструкциях автоматических трансмиссий, когда транспортное средство двигалось со скоростью, находящейся между идеальными скоростями для двух передач.В этих ситуациях система трансмиссии почти непрерывно переключалась между двумя передачами, что раздражало и затрудняло работу трансмиссии. Такое поведение теперь подавляется введением в систему гистерезиса.

Управление транспортными средствами при задержке корректировки курса []

Существует множество примеров автоколебаний, вызванных задержкой корректировки курса, от легкого самолета при сильном ветре до неустойчивого управления дорожным транспортным средством неопытным или нетрезвым водителем.

SEIG (самовозбуждающийся индукционный генератор) []

Если асинхронный двигатель подключен к конденсатору и вал вращается со скоростью выше синхронной, он работает как самовозбуждающийся индукционный генератор.

Самовозбуждающие передатчики []

Многие ранние радиосистемы настраивали схемы своих передатчиков таким образом, чтобы система автоматически создавала радиоволны желаемой частоты. Эта конструкция обычно уступает место проектам, в которых используется отдельный генератор для обеспечения сигнала, который затем усиливается до желаемой мощности.

Примеры в других областях []

Популяционные циклы в биологии []

Например, сокращение популяции травоядных животных из-за хищничества, это приводит к сокращению популяции хищников этого вида, снижение уровня хищничества позволяет популяции травоядных увеличиваться, это позволяет увеличивать популяцию хищников и т. Д. дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени являются достаточным объяснением таких циклов — в этом случае задержки вызваны в основном циклами размножения рассматриваемых видов.

См. Также []

Список литературы []

.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *